*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Där är det e^(r^2) r som integreras. Den går att integrera eftersom faktorn r i princip är en inre derivata.

För övrigt är vi litet oförsiktiga med "går att integrera". Vad vi menar här är att det inte finns någon elementär funktion som är primitiv funktion till e^(r^2).

Där är det e^(r^2) r som integreras. Den går att integrera eftersom faktorn r i princip är en inre derivata.

För övrigt är vi litet oförsiktiga med "går att integrera". Vad vi menar här är att det inte finns någon elementär funktion som är primitiv funktion till e^(r^2).

ln(x) är bara definierad för x > 0.
1/x är bara definierad för x ≠ 0.
Alltså, ln(x)/x är bara definierad för x > 0.

x^u är bara definierad för x > 0 om u inte endast löper över heltal.
Med u = ln(x)/x så löper u inte bara över heltal.
Alltså, x^u, är bara definierad för x > 0.

Vi kan nu sluta oss till att x^{ln(x)/x} bara är definierad för x > 0.


För att hitta värdemängden måste vi söka max och min. Vi gör det som vanligt genom att derivera:

f(x) = x^{ln(x)/x} = (e^{ln(x)})^{ln(x)/x} = e^{ln(x)²/x}

f´(x) = e^{ln(x)²/x} · (2 ln(x)/x · x - ln(x)² · 1)/x² = x^{ln(x)/x} · (2 ln(x) - ln(x)²)/x² = 0
då ln(x) = 0 eller ln(x) = 2, dvs då x = 1 eller x = e².

f(1) = 1^{ln(1)/1} = 1
f(e²) = (e²)^{ln(e²)/e²} = (e²)^{2/e²} = e^{4/e²}

Vi måste även undersöka gränsvärden:
lim_{x→0+} f(x) = lim_{x→0+} e^{ln(x)²/x} = e^{lim_{x→0+} ln(x)²/x} = e^{+∞} = +∞
lim_{x→+∞} f(x) = lim_{x→+∞} e^{ln(x)²/x} = e^{lim_{x→+∞} ln(x)²/x} = e^{0} = 1

Eftersom e^{ln(x)²/x} är kontinuerlig för x > 0 antas helt klart värden mellan 1 och +∞ (1 inkluderad). Och eftersom 4/e² > 0 gäller att e^{4/e²} > 1, så denna stationära punkt ligger inte under 1.

Alltså är värdemängden [1, ∞).

Och ritar man upp grafen för funktionen finner man att den vid små positiva tal kommer uppifrån +∞, når ett lokalt minimum vid x = 1, stiger till ett lokalt maximum vid x = e² och sedan långsamt avtar igen ned mot värde 1.

Hej! På den här uppgiften: http://puu.sh/nEOf2/f6f1393c76.png. För att ta reda på tangentlinjen till kurvan, varför kan jag inte ta reda på gradienten, sätta in skärningspunkten (2,4,8) som var rätt och sen sen får jag (16,-8,8) = 16x-8y+8z=d och sen sätter jag in punkten igen och löser ut d? Varför fungerar inte detta sätt?

Till att börja med så är 16x-8y+8z=d en ekvation för ett plan i ℝ³ och inte en linje.

Det är sant, det där sättet är nog för att räkna ut tangentekvationen till planet. Hur tar jag reda på tangentlinjen?

Det stämmer inte generellt att ändpunkterna skulle vara ointressanta. Har man en andragradsfunktion med negativ x²-term och punkten där derivatan är noll ingår i intervallet och inte själv är en ändpunkt så är ändpunkterna ointressanta eftersom maxvärdet då antas där derivatan är noll. Har man en andragradsfunktion med positiv x²-term är det tvärtom bara ändpunkterna som är intressanta.

Eftersom linjen Γ är parametriserad med parametern t så deriverar du de uttrycken med avseende på t och sätter sedan in det t-värde som motsvarar den skärningspunkt du har. Då får du riktningsvektorn som du sedan kombinerar med skärningspunkten för att skapa en tangentvektor.

Integration i flera variabler:

Jag skall integrera z dV över området E som ges av punkterna (x,y,z): (0,0,0), (1,0,0), (0,2,0) samt (0,0,3). Hur får jag fram integrationsgränserna för z, y, och x?

Facit säger: 0≤z≤(6-6x-3y)/2, 0≤y≤2-2x, 0≤x≤1