*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Att gränserna för x ges av 0≤x≤1 följer av de två första punkterna. Du kan sedan rita de tre första punkterna i ett xy-koordinatsystem för att se att y börjar vid 0 och går till en linje som ges av 2 - 2x.

Det fjärde hörnet ligger på z-axeln och du kan rita upp linjerna i xz-planet och yz-planet för att kunna konstruera den övre gränsen för z. Att den nedre gränsen ges av z = 0 följer av att se hur de fyra punkterna ligger i förhållande till varandra.

Om jag har området z>= 0, x^2 + y^2 + z^2, x+y >= 0 för en trippelintegral. Hur tar jag reda på gränserna för vinkeln phi efter man bytt till sfäriska koordinater?

Rita upp xy-planet och rita sedan in x² + y² = r² (du har inte skrivit ut värdet på r men det finns rimligen i uppgiften) samt x + y = 0 så bör du se att x + y ≥ 0 motsvarar -π/4 ≤ φ ≤ 3π/4.

Kan man verkligen rita in x^2+y^2 = r^2? För dels har man inte den där, sen har man ett klot så man behöver xyz-planet. Men gjorde iaf så och då är jag med på att phi går mellan -pi/4 och 3pi/4. Hur kan man ta reda på gränserna för theta om man ritat upp som du beskrev?

Jo, i xy-planet är ju z = 0, så då övergår x² + y² + z² = r² till bara x² + y² = r².

Eftersom du har gränsen z ≥ 0 så får man enkelt att 0 ≤ θ ≤ π/2. Vinkeln θ utgår ju från positiva z-axeln och når π vid negativa z-axeln, så vid xy-planet är man mitt emellan dessa gränser.

Alright då är jag med men har du några tips hur man ska tänka med theta vinkeln? Har inte ritat figur så är svårt att se var z-axeln går men theta brukar oftast gå från 0 till pi, och kan man tänka att z-axeln är vid y-axeln och då z>=0 går den mellan 0 och pi/2 dvs bara första kvadranten?

ln(x) är bara definierad för x > 0.
1/x är bara definierad för x ≠ 0.
Alltså, ln(x)/x är bara definierad för x > 0.

x^u är bara definierad för x > 0 om u inte endast löper över heltal.
Med u = ln(x)/x så löper u inte bara över heltal.
Alltså, x^u, är bara definierad för x > 0.

Vi kan nu sluta oss till att x^{ln(x)/x} bara är definierad för x > 0.


För att hitta värdemängden måste vi söka max och min. Vi gör det som vanligt genom att derivera:

f(x) = x^{ln(x)/x} = (e^{ln(x)})^{ln(x)/x} = e^{ln(x)²/x}

f´(x) = e^{ln(x)²/x} · (2 ln(x)/x · x - ln(x)² · 1)/x² = x^{ln(x)/x} · (2 ln(x) - ln(x)²)/x² = 0
då ln(x) = 0 eller ln(x) = 2, dvs då x = 1 eller x = e².

f(1) = 1^{ln(1)/1} = 1
f(e²) = (e²)^{ln(e²)/e²} = (e²)^{2/e²} = e^{4/e²}

Vi måste även undersöka gränsvärden:
lim_{x→0+} f(x) = lim_{x→0+} e^{ln(x)²/x} = e^{lim_{x→0+} ln(x)²/x} = e^{+∞} = +∞
lim_{x→+∞} f(x) = lim_{x→+∞} e^{ln(x)²/x} = e^{lim_{x→+∞} ln(x)²/x} = e^{0} = 1

Eftersom e^{ln(x)²/x} är kontinuerlig för x > 0 antas helt klart värden mellan 1 och +∞ (1 inkluderad). Och eftersom 4/e² > 0 gäller att e^{4/e²} > 1, så denna stationära punkt ligger inte under 1.

Alltså är värdemängden [1, ∞).

Och ritar man upp grafen för funktionen finner man att den vid små positiva tal kommer uppifrån +∞, når ett lokalt minimum vid x = 1, stiger till ett lokalt maximum vid x = e² och sedan långsamt avtar igen ned mot värde 1.

Ja, du kan ju illustrera området i xz-planet eller yz-planet och θ är i båda fallen då vinkeln från positiva z-axeln. Som du skriver är π det maximala värdet för θ då man når den negativa z-axeln. Eftersom du alltså har villkoret z ≥ 0 i den här uppgiften så når du bara x-axeln/y-axeln från z-axeln, och det är ju en rät vinkel och motsvarar därför π/2.

Ange en vektor som är ortogonal till 4 och som har normen lika med 1.

Någon som kan förklara steg för steg hur man löser uppgiften?

4 är inte en vektor i sig, såvida du inte har utelämnat någon information från uppgiften och 4 där betecknar någon specifik vektor. Detta förefaller dock osannolikt, eftersom vektorer normalt betecknas med bokstäver.

Om du har en vektor u = (u₁, u₂) så kan du skapa en vektor som är ortogonal mot denna som v = (-u₂, u₁) och sedan dividera detta med längden av vektorn u (dvs √[u₁² + u₂²]) för att den ska få normen 1.