*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Hej!

Håller på att studera inför envariabelanalys del 2 och gör nu uppgift 15 (har bifogat bilden i länken). Vet inte riktigt HUR jag ska börja när jag ska sketcha graferna. Kan se att en av kurvorna är en parabel i och med x^2 termen och likaså den andra kurvan. Ska jag fixera någon variabel? Hur ska jag börja? Arean ska tydligen bli pi/2 - 1/3 a.e

Uppskattar svar!

http://www.ladda-upp.se/bilder/rkgjjatjszazmv/

På bilden är det uppgift 13 som man ser

Dvs det står bara y=x² /2 och y=1/(x²+1) och sen syns inget mer.

Skissa grafen till första funktionen är ett rättframt förfarande. Du vet att det är en parabel så välj x = 0, 2, 4 exempelvis. Eftersom funktionen är jämn får du direkt y-värden för x = -2, -4 också. Det borde ge en duglig skiss.

Efter derivering av den andra funktionen inser man att den enda stationära punkten är x = 0 som också är ett maximum. Du ser vidare att gränsvärdet då x → ±∞ är 0. Välj exempelvis x = 0, 2, 4 även här och notera att precis som för parabeln är funktionen jämn.

Från din sista mening verkar det som att du även skall beräkna arean av området som begränsas av kurvorna. Då löser du rimligtvis ut skärningspunkterna för funktionerna.

Håller på med förändringshastighet och derivator i Matematik 5. Har totalt fastnat, fattar ingenting. Eller jag fattar ju att det är någonting med pythagoras sats men inte hur man hittar sambanden mellan hastigheterna, exemplet i boken förklarar inte hur de kommer fram till skiten på en liknande uppgift. Jag vet inte heller om hastigheten man får rör sig diagonalt, horisontellt eller vertikalt (gissar på horisontellt)

Uppgiften:

En apparat A rör sig på ett löpande band med hastigheten 1,0 m/s. En robotarm P befinner sig 2,4 m rakt över punkten Q på bandet.

Hur ändras avståndet PA då AQ = 2,7 m?

Sätt QP = h (= konstant), QA = x och PA = r.

Givet: dx/dt = v = 1,0 m/s.
Sökt: dr/dt.

Geometrin ger r² = x² + h².
Derivera med avseende på tiden t!

Om jag har det här: http://puu.sh/hXmuO/2f361b0e53.jpg så kan jag väl förenkla det till ((k+1)*|x|*(2k)!) / (2k+2)!, men hur skriver facit om det till (k+1)|x| / (2k+1)(2k+2) ?

Tack! Genom att göra så samt kolla på exempeluppgiften kunde jag få fram rätt svar.

Men jag förstår inte hur det blir att när man deriverar r² = x² + h² blir det 2r · dr/dt = 2x · dx/dt. Att h² blir noll är jag med på eftersom det är en konstant.

För mig känns det som att derivatan av r² = x² + h² borde bli 2r = 2x eller något åt det hållet. Kan inte "visualisera" vad exakt det är som händer.

Du har sammansatta funktioner, r och x beror implicit av tiden t!
Använd kedjeregeln:

dr²/dt = (dr²/dr)·(dr/dt) = 2r·dr/dt,
(d/dt)(x²+h²) = (d/dx)(x²+h²)·(dx/dt) = 2x·v.

dr²/dt = (d/dt)(x²+h²) ger sedan
2r·dr/dt = 2x·v,
dr/dt = (x/r)v.

Uppgift från matematik 5 uppgift 3352: Beräkna volymen av den rotationskropp som uppkommer då det område som begränsas av kurvan ( y = 2x^2 - x^3 ) och x-axeln i första kvadranten roterar kring y-axeln

Har prövat med: V=2pi (från 0 till 2)∫ 2x^3 - x^4 dx. för att sedan få en primitiv funktion som lyder [2x^4 - x^5]

Får fram svaret 6/10pi volymenheter vilket är fel. svaret är 16pi/5 v.e

För vilka tal på a gäller att kurvan y=x^3+ax^2+x har terraspunkt?
Kan sådana kurvor ha fler än en terasspunkt?
Kan andra kurvor ha fler än en terasspunkt?

Finns det något speciellt med terasspunkter så man inte kan generalisera det på ekvationerna som max/mini punkter eller har jag missat något?

Jag såg någonstans att för att en terrasspunkt ska gälla bör x-värdet ge 0 i första och andra derivatan och i den tredje ge något annat än 0, stämmer det?

En tredjegradskurva har en terrasspunkt när derivatan har en dubbelrot:
y' = 3x² + 2ax + 1 = 3(x² + 2ax/3) + 1 = 3(x + a/3)² + (1 - a²/3) har dubbelrot då 1 - a²/3 = 0, dvs då a = ±√3.
Terrasspunkten hittas då i x = -a/3 = ∓1/√3.

Genom en omskrivning av ekvationen för kurvan kan vi utläsa det mer direkt:
y = x³ + ax² + x = (x + a/3)³ + (1 - a²/3)(x + a/3) + (2a³/27 - a/3)
Kurvan har en terrasspunkt när den är en translation av y = x³, dvs när (1 - a²/3)(x + a/3) försvinner, vilket den gör då 1 - a²/3 = 0. Terraspunkten hittas då x + a/3 = 0.


Tredjegradskurvor kan inte ha fler än en terrasspunkt eftersom derivatan, en andragradare, bara kan ha en dubbelrot.


Ja, en femtegradskurva kan ha två terrasspunkter.
Exempel: Om y' = (x+1)²(x-1)² får vi en terrasspunkt i x = -1 och en i x = +1.


Vilket slags generalisering tänker du på i fallet max/min-punkter?


Första- och andraderivatan ska vara noll. Tredjederivatan kan också vara noll, men om den är det kan vi ha en annan typ av punkt än terrasspunkt.
Exempel:
För y = x^3 gäller y'(0) = y''(0) = 0, y'''(0) ≠ 0, och grafen har en terrasspunkt.
För y = x^4 gäller y'(0) = y''(0) = 0, y'''(0) = 0, och grafen har ingen terrasspunkt.
För y = x^5 gäller y'(0) = y''(0) = 0 = y'''(0) = y''''(0) = 0, y'''''(0) ≠ 0, och grafen har en terrasspunkt.
Generellt gäller: Om y'(a), y''(a), och sedan derivatorna av upp till ordning n är noll, men derivatan av ordning n+1 inte är noll, så föreligger en terrasspunkt om n är jämnt, ett max/min om n är udda.

"A conical domain with vertex (0,0,b) and axis along the z-axis has as base a disk of radius a in the xy-plane. Find the flux of: F=(x+y^2)i+(3x^2y+y^3-x^3)j+(z+1)k upward through the conical part of the sphere."

Jag har fått att div F=2+3(x^2+y^2).

Jag använder att vi kan använda likheten \[\iiint_D\overrightarrow{div F}dV=\oint_S \vec{F}\cdot \vec{N}dS\] existerar. (notera att det ska vara dubbelintegral men codeccogs har inte amsmath aktiverat för att få dubbelintegral över stängd kurva).

Jag använder \[x=rcos(\theta), y=rsin(\theta), z=z\]
och får då integralen \[\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^ardr\int_0(2+3r^2)dz\]
.

Har jag tänkt rätt från början? Och exakt hur får jag reda på övre integrationsgränsen? *:/