*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Matte 4-uppgift

Bevisa att n^3-n är delbart med 3.

Jag har fått fram att funktionen ovan är lika med n(n+1)(n-1) vilket är 3 på följande heltal. Så frågan är hur bevisar man att produkten av 3 på varandra heltal är delbart med 3?

3:ans gångertabell kan du tänka. Oavsett vad vi börjar på, säg att vi har n=5 då är n+1=6 och n-1=4 och 6:an ingår i 3:an gångertabell. Det blir ännu tydligare om du skriver (n-1)*n*(n+1), då kommer du gå "runt" ett tal som finns i 3:ans gångertabell oavsett hur du än gör.

Allmän andragradare:
y = ax^2 + bx + c, punkten (0,0) ger c = 0 så y = ax^2 + bx. Nu kan du lösa det med ett ekvationssystem:

x = -10 ger y = -10 alltså är -10 = 100a - 10b
x = 10 ger y = -10 alltså är -10 = 100a + 10b

Sedan löser du ut a och b med till exempel additionsmetoden.

Hur kommer du till det steget?

x = 10
a * 10^2 + b * 10 = a * 100 + b * 10?

Eller misuppfattade jag din fråga?

dxdp visar på en allmän metod som alltid fungerar i såna här problem. Nedan är detta min metod 3, i detalj. Försök gärna förstå alla metoderna, inkl hur man gör i Excel, så har du redan en ganska bra verktygslåda.

Metod 1.
Ser du möjligen någon likhet med en tabell för y=-x^2?:
(x,y) = (-2,-4), (-1,-1), (0,0), (1,-1), (2,-4)
Förhållandena mellan y-värdena är ju samma: 4:1:0:1:4 och i båda fallen är punkterna jämnt utspridda i x-led. Avstånden är 5 gånger längre i x-led och 2.5=5/2 gånger större i y-led. Detta ger direkt den sökta formeln:
(y/2.5) = -(x/5)^2
Dvs y = -2.5 * x^2 / 5^2 = -x^2/10
(Allmänt: k*f(x/c) är k gånger större i y-led och c gånger större i x-led än f(x).)

Metod 2.
Alla andragradsfunktioner kan skrivas som
y = y0 + k*(x-x0)^2
där y0 är minvärdet (eller maxvärdet) vid x=x0 och k är en koefficient (k>0 om kurvan har ett minimum, k<0 om kurvan har ett max).
Direkt ser man på datapunkterna att x0=0 och y0=0, dvs
y = k*x^2.
Sätt in värdena från någon punkt, t ex (x,y)=(10,100) vilket ger
-10 = k*10^2
-1 = k*10
k = -1/10
Dvs
y = -x^2/10

Metod 3.
Välj ut tre punkter och anpassa kurvan y = a + bx + cx^2 till dessa. Jag väljer (x,y) = (0,0), (5,-2.5), (10,-10).
Första punkten --> 0 = a + b*0 + c*0^2, dvs a = 0.
Andra och tredje punkten ger de två ekvationerna
-2.5 = b*5 + c*5^2
-10 = b*10 + c*10^2
dvs
5b + 25c = -2.5
10b + 100c = -10
Löser man ekvationssystemet så blir b=0 och c=-1/10 varför y=-x^2/10.
[T ex så här kan man lösa systemet: Dubblar man överallt i den första ekvationen får man
10b + 50c = -5 vilket ger att 10b = -5 - 50c.
Stoppa in detta uttryck istället för 10b i den andra ekvationen:
-5 -50c +100c = -10
50c = -c, dvs c = -1/10.
Stoppa in detta c i t ex den första ekvationen:
5b - 25/10 = -2.5 med lösningen b=0. Dvs
y = a + b x + c x^2 = -x^2/10

Metod 4.
Minsta kvadrat-anpassa med ALLA punkterna till en andragradsfunktion. Detta kan man göra i t ex Excel och funkar även om punkterna inte är exakta värden. Teorin är egentligen inte så svår men jag gissar att du inte riktigt är på den nivån än. (Man KAN använda formlerna för detta som en kokbok, men vill man förstå är det bra om man kan derivera och om man kan räkna med matriser.)

Jag har funktionen;

f(x) = 3270 + 18,9x - 0,058x^2

a) Rita grafen.


Ska jag göra det på papper? Eftersom värdena är så otroligt dåliga - åtminstone om man ska göra det för hand - antar jag att det ska lösas grafiskt. Eller hur tolkar ni det? (Jag menar, bara symmetrilinjen blir (-325)/(2)..

"Ett företags vinst, y miljoner kronor, varierar med hur många enheter de säljer av sin produkt. Om företaget säljer x tusen enheter ges vinsten av funktionen y= -0,05x^2 + 0,55x - 0,5 för 0 ≤ x ≤ 11. Hur stor är företagets maximala vinst?"

Skriver om funktionen, och sätter f(x) = 0 för att få symmetrilinjen - som ligger mellan potentiella nollställen.

Får efter omskrivningar och aritmetik;

x^2 - 11x + 10 = 0

Symmetrilinjen ges av (11/2).

Stoppar in det x-värdet i den ursprungliga funktionen och får svaret 1,0125. Facit säger 1,0. Är det bara avrundningar som ställer till det? Finns det ett smidigare sätt att lösa ekvationen på än den jag gör?

Ragnar ska kasta in en fil till Sickan, som är på andra sidan av ett 5 meter högt staket. Ragnars bästa kast beskrivs av modellen h(s) = 2+3.3s-0,75s^2 där h meter är kastets höjd efter s meter horisontell rörelse. Hur långt från staketet ska Ragnar stå för att lyckas kasta över filen till Sickan.



Jag kommer fram till s^2 + 4,4/2 + 4 = 0 som ger s = (4,4)/2 = 2,2 meter. Men i facit är det angivet i ett intervall. Hur tolkar jag uppgiften?

Skall du rita för hand skulle jag säga att en approximativ kladd med hjälp av värdetabell är bra nog om den ligger ungefär som grafen skall. Vill du rita mer exakt så är det grafräknare eller datorprogram som gäller.

Det är avrundningar i facit. Om derivata inte skall användas (har ju varit så på dina tidigare uppgifter) och du skall ha en exakt lösning så känner jag inte till något bättre sätt.

Du har tolkat det som det avstånd där kastet är som högst. I facit har de angivit hela intervallet där han får över filen. Dvs från minsta till största avståndet. Som frågan är ställd skulle jag säga att vilket svar som helst som låter filen passera över staketet är ok om det visas med en uträkning, men att ange hela intervallet är det mest heltäckande svar som kan ges.