Citat:
Ursprungligen postat av spudwish
Tack dbshw för svar tidigare, återkommer.
Snabb fråga:
Use the Wronskian to prove that two solutions of the homogeneous equation y''+P(x)y'+Q(x)y=0 on an interval [a,b] are linearly dependent if they have a common zero x_0 on the interval.
Som jag förstått det så om y_1,y_2 är två lösningar så är de linjärt oberoende om dess Wronskian är nollskild för alla x på [a,b]. Men om W(x) = y_1 (y_2)' - y_2 (y_1)', x_0 tillhör [a,b], och y_1(x_0)=y_2(x_0)=0, så uppfylles inte det villkoret, och y_1,y_2 är alltså linjärt beroende lösningar. Rimligt? (jämnnumrerad uppgift, endast facit till uddanumrerade frågor :P)
Njäe. Ditt resonemang använder inte att funktionerna är lösningar till diffekvationen, så om det vore korrekt skulle det visa att två deriverbara funktioner y_1, y_2, vilka som helst, är linjärt beroende om de har en gemensam nolla x_0 i [a, b]. Vilket förstås inte är sant.
Felet är att det snarare är så att det räcker med att Wronskianen är nollskild för något x på [a, b], så visar det att funktionerna är linjärt oberoende.
Däremot är det inte sant att funktionerna måste vara linjärt beroende ifall Wronskianen är noll överallt, så jag vet inte riktigt vad uppgiften vill.
En lösning (som i min mening inte använder något om Wronskianer) till det man ska visa är att man först inser att en lösning är entydigt bestämd om man vet båda funktionens värde och derivata i en punkt. Det vill säga, att systemet
y''+P(x)y'+Q(x)y=0 på [a, b]
y(x_0) = a
y'(x_0) = b
har en entydig lösning. (För detta krävs extra reguljäritetsvillkor på P och Q, men det får man väl anta.) Poängen är att avbildningen F som tar vektorn (a, b) till motsvarande lösning är linjär, vilket inte är svårt att visa om man redan vet att det finns en entydig lösning.
Detta betyder att om man har två lösningar, y_1 och y_2, så att vektorerna (y_1(x_0), y_1'(x_0)) och (y_2(x_0), y_2'(x_0)) är linjärt beroende, så måste också y_1 och y_2 vara linjärt beroende, eftersom dessa är dit vektorerna skickas under den linjära avbildningen F.
Edit: När jag tänker efter så kan det vara så att uppgiften vill att man ska anta att om Wronskianen är konstant 0 så är lösningarna linjärt beroende. Detta är inte helt sant, men så pass nästan sant att det typ alltid är så i praktiken.
I så fall så vet vi, som du noterar, att om y_1, och y_2 har en gemensam nolla så är Wronskianen noll i den punkten. Utifrån detta behöver du då visa att Wronskianen är noll överallt.
(Hint: Derivera Wronskianen och använd att y_1, y_2 uppfyller differentialekvationen.)
