*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

xy' + y = x/(1 + x²) ⇔ x ≠ 0
y' + y/x = 1/(1 + x²)

Integrerande faktor är e^ln(x) = x

Detta ger y = 1/x ∫ x/(1 + x²) dx = 1/x ·(ln(1 + x²)/2 + C) = ln(1 + x²)/(2x) + C/x då x ≠ 0.
Om x = 0 får vi den den triviala lösningen y = 0.

Du är verkligen helt otrolig Verkligen räddaren i nöden! Stort tack.

En lätt variation på föregående lösning:

xy'+y=x/(1+x²) kan skrivas

(xy)' = ½ (ln(1 + x²))', varur

xy = ½ ln(1 + x²) + C.

Sedär ja

Dela med x...

Jag antar att du menar 4*sqrt(3) cm?

Lösning:
Vi kallar kubens sida för a & bottendiagonalen för b.

Beräkna bottendiagonalen:
a² + b² = (4*√(3))²
b² = 16*3-a².

Beräkna sidan a genom pythagoras sats igen:
a²+a²=b²
2a²=16*3-a²

3a² = 16*3
a² = 16
a=4 (-4 är inte en möjlig lösning eftersom vi räknar längdenheter)

kubens volym: a³ = 4³ = 64 cm³

Alternativt synsätt:
Enligt pythagoras sats är rymddiagonalen av en kub alltid √3 längre än sidorna. Därför är en sida 4cm lång.

Eftersom:

√(s²+s²+s²) = √(3s²) = √(3)·√s² = √(3)s

För alla kuber är rymddiagonalen alltid √(3) gånger längre än sidan.

Volymen av en kub ges då av 4³ = 64

Svar: 64cm²

Hade ytterligare ett problem med denna:

Bestäm den lösning till differentialekvationen för vilken gäller att den har en tangent parallell med x-axeln då x=1.

Hur ska man tänka här?

Sheetas, gränsvärden ska ju inte vara så svårt. Plus att det är ju roligt också. Men ändå sitter jag här och har fastnat nu i några timmar. Finns det någon som kan klura ut dessa?

lim (sinx)/(sin3x)
x->0

lim (e^(3x)-1)/(e^(4x)-1)
x->0

lim (ln x)/(x^(2)-1)
x->1

lim (x*ln(x))/(x+ln(x))
x->oändligh.

Tack!

Sätt in y' = 0 (villkor för horisontell tangent) och x = 1 i din diffekv för att få ut tillhörande y-värde. Säg att detta ger y = b. Plugga sen in x = 1 och y = b i lösningen till diffekvationen för att bestämma integrationskonstanten C.

Enligt Otrolig så är,
Lösningen:

{y = ln(1+x²)/(2x)+C/x, då x ≠ 0
{y ≡ 0, då x = 0

Vi vet då att:
Det du skrev var att tangentens riktningskoefficient skall vara identiskt lika med x-axelns rikningskoefficient när x = 1. x-axelns riktningskoefficient är ju noll, och detta skall gälla i punkten där x = 1. Alltså skall randvillkoret y'(1) = 0 vara uppfyllt, detta skall vi då nyttja för att bestämma värdet på C.

Deriverar med avseende på x:

y = ln(1+x²)/(2x)+C/x
d/dx(y) = d/dx(ln(1+x²)/(2x)+C/x)
y' = -ln(1+x²)/(2x²)+1/(x²+1)-C/x²

Nyttjar nu randvillkoret:

y'(1) = 0 = -ln(1+1²)/(2·1²)+1/(1²+1)-C/1² = -ln(2)/2+1/2-C ⇔
(1-ln(2))/2 = C ⇔
(ln(e)-ln(2))/2 = C ⇔
(ln(e/2))/2 = C ⇔
ln(√(e/2)) = C ⇔

Svar:

xy' + y = x/(1+x²), y'(1) = 0
⇔
{y = ln(1+x²)/(2x)+ln(√(e/2))/x, då x ≠ 0
{y ≡ 0, då x = 0

Det finns ett standardgränsvärde som säger att sin(x)/x = 1, när x→0. Vi kan då förlänga med x, för att nyttja detta standardgränsvärde för att illustrera hur det kan gå till algebraiskt. Då gäller även det omvända, dvs att x/sin(x) = 1, när x→0.

Detta är ett gränsvärde, jag kommer inte skriva limes hela tiden:

sin(x)/sin(3x) =
sin(x)x/sin(3x)x = [förlänger med x]
(sin(x)/x)·(x/sin(3x)) = [sin(x)/x är ju lika med 1 när x→0, så den behöver vi inte skriva med längre]
x/sin(3x) =
3x/3sin(3x) = [förlänger med 3]
(3x/sin(3x))·(1/3) =
1/3, när x→0