*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Hej!

Har lite problem med differentialekvationer i Matte D och skulle gärna vilja ha hjälp med
följande uppgift:


Sambandet mellan tillväxthastigheten för antalet bakterier i en bakterieodling ges av

dy/dx = 0,063y där y anger antalet bakterier och t tiden i dygn

a) visa att 1000e^(0,063t) är en lösning till differentialekv

b) Beräkna hastigheten som antalet bakterier ökar med efter 3 dygn

a) Det är bara att sätta in i vänsterled och högerled i ekvationen och se att det blir lika.
b) Sätt in t = 3 i uttrycket i a).

Om 1000e^(0,063t) är en lösning så är alltså y = 1000e^(0,063t).

Ansätt detta i din ekvation:

dy/dt = 0.063(1000e^(0,063t))

(en korrektion gjord, antar att du menar dy/dt eftersom variabeln är t och inte x)
dy/dx kan vi ju beräkna, det är ju derivatan av y, alltså derivatan av 1000e^(0,063t). Om vi ser att VL är lika med HL, ja då är 1000e^(0,063t) en lösning till ekvationen.

b) Derivatan beskriver ju hastigheten. Vi vill veta vad hastigheten är, när t = 3. Alltså vill vi beräkna y'(3).

Här är hela frågan: "I en stad anser man att befolkningstätheten f(x) tusen invånare per kvdaratkilometer varierar enligt funktionen f(x)=30*e^(-0.2x) där x km är avståndet till centrum. Hur många personer bor inom en radie av 4 km räknat från centrum?"

Du har en funktion som beskriver tätheten på en infinitesimalt bred cirkel. För att få hela befolkningen inom ett visst intervall måste du summera ihop alla de infinitesimala cirklar som utgör den arean. Du vill veta hur många som borinom en radie 4 km från origo (centrum). Integrera alltså från 0 till 4 så har du ditt svar.

Då var det alltså inte populationen då. Helt enkelt är befolkningstätheten med enheten (invånare/km²) identisk på ett givet avstånd från centrum av cirkeln. Alltså lika stor på hela kanten (randen) av cirkeln. Vi vet att den avtar exponentiellt och att f(0) = 30. Alltså är befolkningstätheten 30 i mittpunkten av cirkeln, denna avtar sedan ju längre ut från mitten vi kommer.

Hur hade vi gjort om tätheten var konstant? Låt oss säga att befolkningstätheten alltid hade varit 30. Hur hade vi då löst problemet?

Jo vi hade multiplicerat tätheten med den area vi tittar på. Låt oss säga att vi tittar på en cirkel med arean πr². Totala befolkningen i en cirkel med radien r, om arean är πr² och befolkningstätheten 30 är då:

Total befolkning = 30πr²

I en cirkel med radien r.

Toppen! Men nu varierar ju befolkningstätheten, då blir det genast svårt. Men vi kan då titta på en infinitesmal bit (oändligt liten bit) av arean. Hur ser den ut?

Bilden nedan är en cirkel, och inne i den är en inskriven cirkel. Eftersom dx är oändligt liten så är arean av cirklarna lika stora. Om vi då vecklar ut deras omkrets som är gjort på på samma bild, fast under cirkeln så kan vi beskriva arean av den oändligt tunna biten som 2πx·dx. För det är ju så vi beräknar arean av rektanglar, basen gånger höjden. Denna area multiplicerar vi med vår befolkningstäthet för att få befolkningen.

http://i42.tinypic.com/264mmh4.jpg

Befolkningen i denna oändligt lilla arean kan beskrivas som:

f(x)2πx·dx

Men vi vill ju inte veta befolkningen bara där, den är ju oändligt liten. Så vi summerar alla dessa tunna bitar dx hela vägen från start, alltså då x är lika med 0, ända fram till då x är lika med 4. Då får vi befolkningen från centrum hela vägen ut till 4 km från centrum.

Befolkningen = ∫f(x)2πx·dx [från 0 till 4]

Vi slår alltså på en integral för att summera alla dessa tunna bitar av befolkningstäthet multiplicerat med area. Och precis som du säger så vet vi inte hur man löser dessa analytiskt i matematik D. Du kan alltså nöja dig med att utföra beräkningen på miniräknare, men då måste du också skriva hur du gjorde detta när du redovisar uppgiften.

Om du trots detta ändå vill lära dig hur man gör detta analytiskt så kan du titta på "partiell integration" eller någon youtube film som beskriver "integrate by parts". Jag rekommenderar filmer från "khanacademy".

Mvh och lycka till!

Hej har ett par upg jag behöver förklaring till (samt vilken regel man använder)

1) ln((x^3)+1) , derivera 1 gång

2) tan 2x , derivera 1 gång

3) x/cos(x)

kommer mer sedan, all hjälp uppskattas.

1) kedjeregeln
2) kedjeregeln (om du känner derivatan av tan)
3) kvotregeln

kan du visa hur du gör det ?

Kan du derivera ln(x)?
Kan du derivera (x^3)+1?
Kan du derivera f(g(x))?

Kedjeregeln för det envariabla funktioner:

(f(g(x))' = f'(g(x))·g'(x) eller df/dx = df/dt·dt/dx (olika skrivsätt)

Exempelvis för ln(x³ + 1) kan vi skriva det som f(t) = lnt och t = g(x) = x³ + 1 och då är f(g(x)) = ln(x³ + 1). Vi får då av kedjeregeln:

f'(t) = 1/t
g'(x) = 3x²
f'(g(x))·g'(x) = 1/(x³ + 1)·3x² = 3x²/(x³ + 1)

Observera att WolframAlpha är ett ypperligt verktyg för derivering, klicka på "Show steps".

1/x

3x^2

f(g(x)) f'(f(x))*g'(x)

tror jag