*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Den korta radien för ellipsen blir 1 eftersom det är cylinderns radie. Att planet skär cylindern kan ju inte minska tvärsnittets storlek till mindre än det cirkulära i någon ledd.

Det som återstår är därför att bestämma den långa radien, och då räcker det egentligen att använda Pythagoras sats. Du kan illustrera hur planet z+x+y=0 skär cylindern exempelvis för z = 0, där planet alltså motsvarar linjen x + y = 0 eller ekvivalent y = -x. Då är skärningspunkterna med cylinderns tvärsnitt (x,y) = (-1/√2,1/√2) samt (1/√2,-1/√2). Nu behöver man hitta de z-värden där planet skär det cirkulära tvärsnittet i punkterna mitt emellan dessa två skärningspunkter, eftersom detta är den högsta respektive lägsta skärningspunkten.

Dessa punkter är då (-1/√2,-1/√2) respektive (1/√2,1/√2) och motsvarar z-värdena √2 respektive -√2.

Eftersom det horisontella avståndet mellan dessa punkter är 2 (radien i cylindern*2) och det vertikala avståndet är 2√2 så ger Pythagoras sats att hypotenusans längd är √[2² + 2*2²] = √12. Då är alltså den långa radien i ellipsen √(12)/2 = √3.

Observera dock att dessa radier är ellipsens radier i planet som ges av z+x+y=0 och inte i xy-planet. I xy-planet kan du bara projicera skärningskurvan och då blir den med automatik cirkulär med radie 1.

Integrera följande

INT INT sin(y^2) dx dy

𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 1
0≤𝑥≤1


Mitt svar: byt plats på dx dy (och integralerna) och sen kör som vanligt. --> ( sin(1)-cos(1) ) / 2

Facit: ändra till, och lös som vanligt

0 ≤ 𝑦 ≤ 1
0 ≤ 𝑥 ≤ y

--> (1 - cos(1)) / 2

Jag får visserligen fel, men VARFÖR kan jag inte integrera med avseende på y först?!

Nä, men det blir ändå ngt knas, för såhär då:

Bestäm största och minsta värde till funktionen
(4/{x^2+y^2+1})+2xy

i det område som definieras av att 1/4 < x^2+y^2 < 5.


f(x,y)=(4/{x^2+y^2+1})+2xy
f'(x) = 4*(-2x/((x^2+y^2+1)^2))+2y vilket ger x=0 och y=0.
f'(y)= 4*(-2y/((x^2+y^2+1)^2))+2x vilket ger x=0 och y=0.

Stoppa in x resp y en i taget för att få en funktion av x och en funktion av y.

f(x=0)=4/(y^2+1)
f'(x=0)= -8/((y^2+1)^2)

(sorry, jag vet inte hur jag ska uttrycka mig för att visa på att detta ska behandla x-värdet.)

Åter till y:

f(y=0)= 4/((y^2+1)^2)
f'(y=0)=-8x/((y^2+1)^2)

Och dessa skall sätta =0. Då får vi att y=0, och x=0.

Det känns bara så weird.?

-----

Då skall vi ju ha
x=cos(t)/4
y=sin(t)/4
derivera detta och sätt =0.

x'=0 ger värdet pi*n
y'=0 ger värdet pi*n-(pi/2) och så testar jag lite olika värden för n (0,1,12,) kollar villka som är med i intervallet.


Och sedan sätta in
x = √(5)*cos(t)
y = √(5)*sin(t) och derivera den resulterande funktionen med avseende på t:


x'= -√(5)*sin(t)
y'= √(5)*cos(t)


Skall jag lösa ut t också?

Skulle du integrera med avseende på y först så skulle du behöva göra partiell integration, eftersom sin(y²) inte är en standardfunktion. Integrerar du med avseende på x först så får du dock en extra faktor y som gör så att du lättare kan hitta den primitiva funktionen.

Vad får du för primitiv funktion för den inre integralen ∫ sin(y²) dy ?

Metoden är rätt men det ser ut som att du tappar bort den inre derivatan. Kolla över derivatorna av dessa funktioner igen och tänk på att det bara är täljaren som kan göra så att derivatans värde blir noll. Tänk även på att kolla så att extrempunkterna verkligen ligger inne i området 1/4 ≤ x² + y² ≤ 5.


Metoden är rätt. Du behöver inte lösa ut t, bara hitta extremvärden till funktionerna.

Vad håller jag på med? Blir fan rasande när man gör såna misstag.

men men men men... http://www.wolframalpha.com/input/?i...4%2F(y%5E2%2B1)



okej, så:

x'=0 ger värdet pi*n

n=0 blir 0. får ej vara med i intervallet
n=1 bli pi. får vara med i intervallet
n=2 blir 2pi får ej vara med i intervallet


Och y'=0 ger värdet pi*n-(pi/2)
n=0 ger -pi/2 får ej vara med i intervallet.
n=1 ger pi .. får vara med i intervallet
n=2 ger 3pi/2 .. får vara med i intervallet:


Winners: pi och 3pi/2.

Har kommit fram till att funktionen har

Global maximumpunkt när x = 11/7.
Ingen lokal minimumpunkt.
Inflektionspunkter: (√(11)+11)/(7), (-√(11)+11)/(7).

Men det är fel? Är det mina inflektionspunkter som inte stämmer?

Du har rätt global maxpunkt enligt WolframAlpha. När det gäller inflexionspunkter så måste du utöver att avgöra om andraderivatan är noll även undersöka om andraderivatan har olika tecken på de två sidorna om respektive punkt där andraderivatan är noll. Att andraderivatan är noll är i sig inte ett tillräckligt villkor.

(√(11)+11)/(7) ≈ 2.
Andraderivatan blir positiv för x = 2.5, och negativ för x = 1.5.

(-√(11)+11)/(7) ≈ 1.
Andraderivatan blir positiv för x = 0.5, och negativ för x = 1.5.

Då borde båda vara inflektionspunkter?

Jo, det verkar onekligen så. Vad står det i facit?