Citat:
Ursprungligen postat av spudwish
Gött, ungefär så jag gjorde.
Några frågor nu då...
1. If f:G1->G2 is a group homomorphism, then if a is in G1 and a has order n, then the order of f(a) in G2 is a divisor of n.
Proof: Let o(a)=n. Since f:G1->G2 is a group homomorphism, we must have (f(a))^n = f(a^n) = f(e) = e. Thus o(f(a))|n.
Det där stämmer, men hur följer av det att o(f(a))|n ?
Några frågor nu då...
1. If f:G1->G2 is a group homomorphism, then if a is in G1 and a has order n, then the order of f(a) in G2 is a divisor of n.
Proof: Let o(a)=n. Since f:G1->G2 is a group homomorphism, we must have (f(a))^n = f(a^n) = f(e) = e. Thus o(f(a))|n.
Det där stämmer, men hur följer av det att o(f(a))|n ?
Jag väljer att citera dig:
Citat:
Ursprungligen postat av spudwish
2. Proposition: Let s in S_n [the set of all permutations of {1,2,...,n}] have order m. Then for all integers i,j we have s^i = s^j iff i=j (mod m).
Proof: By assumption m is the smallest positive exponent with s^m = (1). If s^i = s^j, for any integers i,j, then multiplying by s^(-j) shows that s^(i-j) = (1). Using the division algorithm we can write i-j=qm+r for integers q,r with 0<=r<m. Then since (1) = s^(i-j) = (s^m)^q s^r = s^r we must have r=0 because m is the least positive integer for which s^m=(1). Thus m|(i-j) and so i=j (mod m).
Proof: By assumption m is the smallest positive exponent with s^m = (1). If s^i = s^j, for any integers i,j, then multiplying by s^(-j) shows that s^(i-j) = (1). Using the division algorithm we can write i-j=qm+r for integers q,r with 0<=r<m. Then since (1) = s^(i-j) = (s^m)^q s^r = s^r we must have r=0 because m is the least positive integer for which s^m=(1). Thus m|(i-j) and so i=j (mod m).
Det där pratar om permutationer, dvs element i S_n, men beviset använder inte att gruppen är just S_n, så det som faktiskt bevisas är:
Prop: Let G be a group, and let s in G have order m. Then for all integers i, j we have s^i = s^j.
(Exakt samma bevis, helt omodifierat, fungerar.)
I vårt fall tar vi f(a) = s, och m = o(f(a)). Sätt j = 0. Vi vet att s^j = e. Sätt också i = n. Då säger propositionen att
f(a)^n = eomm n = 0 (mod o(f(a)), eller med andra omm o(f(a))|n.
Citat:
Ursprungligen postat av spudwish
2. Let f:G1->G2 be a group homomorphism. Then there exists a group isomorphism g:G1/f -> f(G) where g is defined by g([a]) = f(a) for all [a] in G1/f.
Proof: For each equiv class [a] we define g([a]) =f(a). This is a well-defined function since if [a]=[b], then by definition f(a)=f(b), and so g([a]) = g([b]) (a). If g([a]) = g([b]), then f(a)=f(b), and so [a]=[b], which shows that f is one-to-one (b)...
a) Jag vet inte vad det är som brister här. Har nog inte riktigt förstått det här med "well-defined". Alltså, f "inducerar" en ekvivalensrelation "på" G1. Jag gissar att [a]=[b] är ekvivalent med att a~b "under" f, alltså [a]=[b] <=> a~b <=> f(a)=f(b). Fattar ändå inte vad de sysslar med. "then by definition... and so..." Jaha, spännande värre, but to what purpose?
Proof: For each equiv class [a] we define g([a]) =f(a). This is a well-defined function since if [a]=[b], then by definition f(a)=f(b), and so g([a]) = g([b]) (a). If g([a]) = g([b]), then f(a)=f(b), and so [a]=[b], which shows that f is one-to-one (b)...
a) Jag vet inte vad det är som brister här. Har nog inte riktigt förstått det här med "well-defined". Alltså, f "inducerar" en ekvivalensrelation "på" G1. Jag gissar att [a]=[b] är ekvivalent med att a~b "under" f, alltså [a]=[b] <=> a~b <=> f(a)=f(b). Fattar ändå inte vad de sysslar med. "then by definition... and so..." Jaha, spännande värre, but to what purpose?
Säg att [a] = [b], men a och b är olika. Då skulle det kunna vara så att f(a) inte är samma som f(b).
Då har å ena sidan att definition säger att
g([a]) = f(a)men också att
g([a]) = g([b]) = f(b)Detta är alltså inte väldefinierat, eftersom vi ju har gett g([a]) två olika värden.
Så man måste visa att detta inte sker, och alltså visa att om [a] = [b], så är f(a) = f(b), och våra två definitioner ger samma värde till slut.
Citat:
Ursprungligen postat av spudwish
b) Undran (a) åsido, följer inte injektiviteten av första påståendet, de (formuleringarna) verkar vara lika så det känns överflödigt att tillägga igen att g([a]) = g([b]) => [a]=[b] per definition.
Förstår inte rikitgt. Vilket är det "första påståendet" du talar om här?
Citat:
Ursprungligen postat av spudwish
3. Om en permutation helt enkelt är en bijektion från en mängd till sig själv, är då log en permutation av X = { x ∈ ℝ | x > 1 } ?
Nej. log(2) < 1, så log är inte en funktion från X till X.
Ett område som begränsas av kurvan y=sqrt(4-x)
Beräkna rotationskroppens volym.
a) X-axeln
b) Y-axeln
Hur ska jag få mina värden till integralen?
Beräkna rotationskroppens volym.
a) X-axeln
b) Y-axeln
Hur ska jag få mina värden till integralen?
Citat:
Ursprungligen postat av Skyline-08
Ett område som begränsas av kurvan y=sqrt(4-x)
Beräkna rotationskroppens volym.
a) X-axeln
b) Y-axeln
Hur ska jag få mina värden till integralen?
Beräkna rotationskroppens volym.
a) X-axeln
b) Y-axeln
Hur ska jag få mina värden till integralen?
för a) löser du f(x)=0
för b) löser du ut x och löser f(y)=0
Citat:
Ursprungligen postat av dbshw
Det där pratar om permutationer, dvs element i S_n, men beviset använder inte att gruppen är just S_n, så det som faktiskt bevisas är:
Prop: Let G be a group, and let s in G have order m. Then for all integers i, j we have s^i = s^j.
(Exakt samma bevis, helt omodifierat, fungerar.)
I vårt fall tar vi f(a) = s, och m = o(f(a)). Sätt j = 0. Vi vet att s^j = e. Sätt också i = n. Då säger propositionen att
Prop: Let G be a group, and let s in G have order m. Then for all integers i, j we have s^i = s^j.
(Exakt samma bevis, helt omodifierat, fungerar.)
I vårt fall tar vi f(a) = s, och m = o(f(a)). Sätt j = 0. Vi vet att s^j = e. Sätt också i = n. Då säger propositionen att
f(a)^n = eomm n = 0 (mod o(f(a)), eller med andra omm o(f(a))|n.
Still don't get it. Jag förstår t.ex. inte hur din prop skulle kunna stämma, om t.ex. o(a)=3 så behöver inte a = a^2. Men ja, det övriga hajar jag inte heller tyvärr.
Citat:
Ursprungligen postat av dbshw
Förstår inte rikitgt. Vilket är det "första påståendet" du talar om här?
Jo; låt P = "f is well-defined" och Q = "f is injective". Jag menar att när man visar P så visas även Q, så jag tycker det är konstigt att det upprepas. För Q är sant om g([a])=g([b]) => [a]=[b], vilket man redan säger, "If...then...and so". Eller?
Citat:
Ursprungligen postat av dbshw
Nej. log(2) < 1, så log är inte en funktion från X till X.
Oj. Well, det jag fiskar efter är om permutationer nödvändigtvis är på diskreta mängder, eller om t.ex. någon elementär funktion som är en bijektion från en kontinuerlig mängd X till sig själv också skulle det räknas som en permutation, också.
Sen har vi denna, jag är helt lost nu...
Prop: Let N be a normal subgroup of G, and p:G->G/N defined by p(x)=xN for all x in G is a group homomorphism... There is a bijection between subgroups of G/N and subgroups H of G with N subset H. Specifically, if K is a subgroup of G/N, then p^-1(K) is the corresponding subgroup of G; if H is a subgroup of G with N subset H, then p(H) is the corresponding subgroup of G/N. Under this correspondence, normal subgroups correspond to normal subgroups.
Proof: Since p is a homomorphism, we can apply Prop 1. If K is a subgroup of G/N, then p^-1(K) is a subgroup of G that contains N (c), and if K is normal, then so is p^-1(K). Since p is onto, it is clear that assigning to each subgroup of G/N its inverse image in G is a one-to-one mapping (d). To show that this mapping is onto, let H be a subgroup of G with N subset H. We claim that H = p^-1(p(H)). By definition, p^-1(p(H)) = { x in G | p(x) in p(H) } and so it is clear that H subset p^-1(p(H)) (e). To show the reverse inclusion, let a be in p^-1(p(H)). Then aN=hN for some h in H (f), so we have h^-1 a in N. But since N subset H, this implies h^-1 a in H, and so a = h(h^-1 a) in H (g). Finally, it follows directly from Prop 1 that if H is normal, then so is its image H/N (h) under the natural projection.
(Prop 1 säger att för en grupphom f:G1->G2 med H1 undergrp G1 så är f(H1) undergrp G2, och om H2 undergrp G2 så är f^-1(H2) undergrp G1, och "normalitet bevarad" s.a.s.)
a) Elementen i G/N är ekvivalensklasser, men hur, vad är ekvivalensrelationen? Homomorfin p? Den är ju inte ens binär.
b) Om elementen i G/N är ekvivalensklasser så finns någon ekvivalensrelation "på" G, en ekvivalensrelation är en partition av G, och ett element i G ingår i exakt en ekvivalensklass. Men om man sätter G=Z, N=5Z t.ex. så avbildas 0 till 5Z, 5 till 5+5Z=5Z osv. p är surjektiv, så för varje x+5Z måste det finnas ett x som avbildas till x+5Z, men då verkar det som att antingen i) element i G ingår i fler än en ekvivalensklass, eller ii) p är inte surjektiv.
c) Varför följer att p^-1(K) är undergrupp till G och innehåller N om K är undergrupp till G/N?
d) Det är inte alls tydligt. Det är mindre tydligt ens vad det innebär att assign to each subgrp of G/N its inverse image.
e) Nja. Alla h i H hamnar i p(H) ty p surjektiv, men sen kan det finnas x i G som också hamnar i p(H). Typ så? (annars förstår jag inte)
f) Vad hände nu?
g) Vad görs i sista steget där?
h) Är H/N bilden av H? Hur?
Skapa ett konto eller logga in för att kommentera
Du måste vara medlem för att kunna kommentera