Citat:
Ursprungligen postat av spudwish
Still don't get it. Jag förstår t.ex. inte hur din prop skulle kunna stämma, om t.ex. o(a)=3 så behöver inte a = a^2. Men ja, det övriga hajar jag inte heller tyvärr.
Oops, tappade bort slutet på Propen. Ska stå
Prop: Let G be a group, and let s in G have order m. Then for all integers i, j we have s^i = s^j
iff i ≡ j (mod m).
Citat:
Ursprungligen postat av spudwish
Jo; låt P = "f is well-defined" och Q = "f is injective". Jag menar att när man visar P så visas även Q, så jag tycker det är konstigt att det upprepas. För Q är sant om g([a])=g([b]) => [a]=[b], vilket man redan säger, "If...then...and so". Eller?
Nej. P säger att [a] = [b] => g([a]) = g([b]), och det är det som visas. Q säger att g([a]) = g([b]) => [a] = [b], vilket är annorlunda. Dock så har du ju rätt i att beviset som ges för P egentligen är ett "om och endast om"-bevis, och genom att i princip bara anmärka detta visar dom Q.
Citat:
Ursprungligen postat av spudwish
Oj. Well, det jag fiskar efter är om permutationer nödvändigtvis är på diskreta mängder, eller om t.ex. någon elementär funktion som är en bijektion från en kontinuerlig mängd X till sig själv också skulle det räknas som en permutation, också.
Jag skulle fortfarande säga att t.ex. f: ℝ -> ℝ, f(x) = x + 1 är en permutation. Dock med förbehållet att vanligtvis när man talar om permutationer så är det en diskret "basmängd" som avses. Framförallt så är det ju så att om basmängden inte är diskret så är man oftast intresserad av mer av strukturen hos mängden, och då vill man oftast studera funktioner som bevarar dessa, och inte bara permutationer vilka som helst.
Citat:
Ursprungligen postat av spudwish
Sen har vi denna, jag är helt lost nu...
Prop: Let N be a normal subgroup of G, and p:G->G/N defined by p(x)=xN for all x in G is a group homomorphism... There is a bijection between subgroups of G/N and subgroups H of G with N subset H. Specifically, if K is a subgroup of G/N, then p^-1(K) is the corresponding subgroup of G; if H is a subgroup of G with N subset H, then p(H) is the corresponding subgroup of G/N. Under this correspondence, normal subgroups correspond to normal subgroups.
Proof: Since p is a homomorphism, we can apply Prop 1. If K is a subgroup of G/N, then p^-1(K) is a subgroup of G that contains N (c), and if K is normal, then so is p^-1(K). Since p is onto, it is clear that assigning to each subgroup of G/N its inverse image in G is a one-to-one mapping (d). To show that this mapping is onto, let H be a subgroup of G with N subset H. We claim that H = p^-1(p(H)). By definition, p^-1(p(H)) = { x in G | p(x) in p(H) } and so it is clear that H subset p^-1(p(H)) (e). To show the reverse inclusion, let a be in p^-1(p(H)). Then aN=hN for some h in H (f), so we have h^-1 a in N. But since N subset H, this implies h^-1 a in H, and so a = h(h^-1 a) in H (g). Finally, it follows directly from Prop 1 that if H is normal, then so is its image H/N (h) under the natural projection.
(Prop 1 säger att för en grupphom f:G1->G2 med H1 undergrp G1 så är f(H1) undergrp G2, och om H2 undergrp G2 så är f^-1(H2) undergrp G1, och "normalitet bevarad" s.a.s.)
a) Elementen i G/N är ekvivalensklasser, men hur, vad är ekvivalensrelationen? Homomorfin p? Den är ju inte ens binär
b) Om elementen i G/N är ekvivalensklasser så finns någon ekvivalensrelation "på" G, en ekvivalensrelation är en partition av G, och ett element i G ingår i exakt en ekvivalensklass. Men om man sätter G=Z, N=5Z t.ex. så avbildas 0 till 5Z, 5 till 5+5Z=5Z osv. p är surjektiv, så för varje x+5Z måste det finnas ett x som avbildas till x+5Z, men då verkar det som att antingen i) element i G ingår i fler än en ekvivalensklass, eller ii) p är inte surjektiv.
Ekvivalensrelationen är att för g, h ∈ H är g ~ h omm gh^-1 ∈ N.
Du har rätt i att p skickar x till x + 5Z. Jag ser inte varför i) eller ii) skulle behöva gälla.
Kanske blandar du ihop i) med "en ekvivalensklass innehåller fler än ett element", vilket är sant, men är lite av poängen med ekvivalensklasser?
Citat:
Ursprungligen postat av spudwish
c) Varför följer att p^-1(K) är undergrupp till G och innehåller N om K är undergrupp till G/N?
Att p^-1(K) är en undergrupp följer av andra delen Prop 1:
Sätt f = p, G1 = G, G2 = G/N, H2 = K i Prop 1. Då säger den att f^-1(H2) är en undergrupp till G1, dvs att p^-1(K) är en undergrupp till G.
Att p^-1(K) innehåller N är lätt att verifiera: Låt g ∈ N. Då p(g) = N = identitetselementet i G/N. Eftersom K är en delgrupp till G/N måste det innehålla detta identitetselement. Alltså är p(g) ∈ K, så g ∈ p^-1(K). Detta gäller för alla g ∈ N, så N ⊂ p^-1(K).
Citat:
Ursprungligen postat av spudwish
d) Det är inte alls tydligt. Det är mindre tydligt ens vad det innebär att assign to each subgrp of G/N its inverse image.
Vi vill alltså hitta en korrespondens mellan undergrupper till G/N och undergrupper till G som innehåller K.
Låt för tydlighetens skull den första klassen heta A, och den andra B. Dvs
A = {undergrupper till G/N}
B = {undergrupper till G som innehåller K}.
Vi vill definiera en bijektion från A till B. Kalla denna bijektion φ. Vi definiera φ genom
φ(K) = p^-1(K).
Jag bevisar att φ är injektiv (detta menar dom är "clear"):
Antag att K, L ∈ A, och φ(K) = φ(L). Då är p^-1(K) = p^-1(L). Applicera p på båda sidor. Då är p(p^-1(K)) = p(p^-1(L)). Men p(p^-1(K)) = K och p(p^-1(L)) = L, så K = L.
(Notera att p^-1(K) här betecknar urbilden (inverse image) till K, och att yttret p:et i p(p^-1(K)) bara betecknar bilden av
mängden p^-1(K). Det är alltså inte några inverser det handlar om. p(p^-1(K)) = K är dock alltid sant.)
Citat:
Ursprungligen postat av spudwish
e) Nja. Alla h i H hamnar i p(H) ty p surjektiv, men sen kan det finnas x i G som också hamnar i p(H). Typ så? (annars förstår jag inte)
Ja. Att H ⊂ p^-1(p(H)) betyder bara att för alla h ∈*H gäller h ∈*p^-1(p(H)), dvs att p(h) ∈*p(H). Vilket uppenbart är sant.
Citat:
Ursprungligen postat av spudwish
f) Vad hände nu?
Låt a ∈*p^-1(p(H)). Vi vill visa att aN = hN.
a ∈ p^-1(p(H)) betyder att p(a) ∈ p(H). Alla element i p(H) är (per definition) på formen p(h) för h ∈*H, så detta betyder att p(a) = p(h) för något h ∈*H. Men går vi tillbaka till definitionen av p så ser vi att detta betyder precis att aN = hN.
Citat:
Ursprungligen postat av spudwish
g) Vad görs i sista steget där?
Vi vill alltså visa att a ∈*H. Detta görs genom att skriva a som en produkt av två element i H, nämligen h och h^-1 a. Eftersom a = produkten av dessa element, elementen är var för sig element i H, och H är sluten under multiplikation så gäller att a ∈ H.
Citat:
Ursprungligen postat av spudwish
h) Är H/N bilden av H? Hur?
Ja. H/N är mängden av alla klasser av formen hN för h ∈*H. Men p(h) = hN, så H/N är mängden av alla p(h) för h ∈*H. Dvs H/N är precis bilden av H under p.
