Citat:
Ursprungligen postat av spudwish
1. Determine all Möbius maps of the unit disc |z|<1 onto the upper half plane.
Jag tänkte konstruera en avbildning. Visste inte hur man skulle göra men det finns nån teknik där man ska välja ut tre punkter i "definitionsmängden" och målmängden, och sen sätta två uttryck lika med varann för att få ett uttryck för avbildningen, T(z) = (z-z_1)(z_2-z_3)/((z-z_3)(z_2-z_1)). Den provade jag med punkterna 1, i, -1 från z-planet och sedan -1, 0, 1 i w-planet. Då fick jag uttrycket w=(-1)(1+iz)/(z+i), men det verkar vara fel. Facit börjar med: "Let G(z) = i*(1+z)/(1-z). Then G maps the unit disc onto the upper half plane." Sen är det lite annat också, men hur får man fram G som i facit? Ska man för w ta punkterna 0, 1, inf?
2. "An alternate procedure is based on recognizing that the integrals are expressible as
p.v Int{-inf,inf} cos3x dx/(x^2+4) = Re p.v Int e^(i3x)dx/(x^2+4), and
p.v Int{-inf,inf} x sin x dx/(x^2+1) = Im p.v Int xe^(ix) dx/(x^2+1), respectively... However this shortcut is not always valid since
p.v Int{-inf,inf} cos x dx/(x+i) =/= Re p.v Int e^(ix) dx/(x+i).
In fact the left-hand member is pure imaginary."
Vad är egentligen mönstret här? Det är integrander på formen e^(inx) P(x)/Q(x), n>0 där P,Q polynom. Är det att P,Q inte får ha komplexa koefficienter?
Bumpar igen samt lägger till.
3. Let f,g be analytic in a neighborhood of z_0 and assume g has a 2nd order zero at z_0. Show that
Res(f/g;z_0) = (6f' g'' - 2f g''')/(3(g''))^2. (samtliga för z_0, för tidssparande)
Facit: blablabla Since g(z) is analytic in a neighborhood of z_0 and has a zero of order two at z_0 the function g(z) has a power series expansion g(z) = Sum{2,inf} b_k (z-z_0)^k, b_k = (1/k!)g^(k)(z_0).
Jag får verkligen ingen ordning på detta. Enligt kursboken så gäller dels att Laurent-serien för en funktion med pol av ordning ser ut som f(z) = a_(-m)/(z-z_0)^m + a_-(m-1)/(z-z_0)^(m-1) + ..., samt att en funktion har en pol av ordning m omm f(z) = g(z)/(z-z_0)^m med g analytisk och g(z_0)=/=0.
Ja, detta applicerat på funktionen g ger först nödvändigtvis att g(z) = h(z)/(z-z_0)^2, h(z) som ovan. Eftersom h(z) är analytisk har den en Taylorutveckling b_0 + b_1 (z-z_0) + ... Om man sätter in utvecklingen för h i uttrycket för g får man att g(z) = b_0/(z-z_0)^2 + b_1/(z-z_0) + b_2 + b_3(z-z_0) + ... = Sum{-2,inf} b_(k+2) (z-z_0)^k =/= Sum{2,inf} b_k (z-z_0)^k. Vad gör jag för fel?
4. Find a Möbius transformation mapping the half-plane Im z > 0 onto the disc |w-1|<2 and such that f(i)=1, f(-1)=3.
Facit: ... The point symmetric to the point 1 wrt the circle |w-1|=2 is the point inf.
Om symmetrisk = linjen mellan 1 och vald punkt är ortogonal mot cirkeln, så måste det väl gälla att alla punkter är "symmetric to the point 1 wrt the circle"?
