*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Måste fråga igen för jag fattade inte, om planen är parallella. Hur skulle man lösa dessa? Kan man använda sig av avståndsformeln A_x+B_y+C_z+D/√(A^2+B^2+C^2)?

Tack. Löste den någon sekund efter mitt inlägg i tråden.

Om planen är parallella så har de samma normalvektor (a,b,c) och om du har en punkt (x0,y0,z0) i det ena planet så hittar du den närmast belägna punkten i det andra planet på linjen som har den gemensamma normalvektorn som riktningsvektor. Konstruera alltså den parametriserade linjen (x0,y0,z0) + t(a,b,c) och lös ut det värde på t för vilket punkten (x0,y0,z0) + t(a,b,c) ligger i det andra planet (dvs uppfyller det andra planets ekvation). Avståndet mellan planen ges då av längden på vektorn t(a,b,c) enligt det vanliga sättet att beräkna längd på en vektor i ℝ³.

Har en matlab-uppgift som ska göras men är kass på diff.ekv. hjälp tack!

En fysisk pendel kan kan beskrivas med denna diff.ekv: Θ''+(g/l)*sin(Θ)=0
och för små vinklar så kan Θ≈sin(Θ)

karaktäristisk ekvation:
r²+(g/l)=0
vilket ger r1,r2=±√(g/l)

Nu är jag osäker på hur jag får fram den allmänna lösningen.

Θ=C1*e^(r1x)+C2*e^(r2x)

Är detta korrekt?

r² + g/l = 0 <=> r² = -g/l, så

r = ± i √(g/l).

Lämplig ansats?

oj. Så då får jag komplexa rötter alltså.


Θ = C1 *sin√(g/l)*x + C1 *cos√(g/l)*x ?

Kan man få se ett exempel? Om vi tar 2x+y+2z=3 och 4x+2y+4z=6. Förresten, är dom parallella om bara alla är skalära? Eller räcker det om en eller två är det? Typ, 2x+y+2z=3 och 4x+3y+5z=3?

Moivres formel som sagt var för binomiska ekvationer

z^5=sqrt(32^2+0^2)(cos(pi/2)+isin(pi/2)=e^i(pi/2+2kpi) där k är något heltal
z^5=32e^i(pi/2)
z=(32^(1/5)e^i((pi/10)+2kpi/5)

sätt in k=0,1,2,3,4 för att se din lösningar (andra k ger bara upprepningar av lösningar)

eftersom avståndet ifrån origo är konstant med 2 så kommer lösningarna ligga på en cirkel (symmetriskt eftersom vinkeln mellan dessa också är konstant) när vinkeln ändrar sig

vart ligger 32i på enhetscirkeln?

skriv detta sedan i polärform; 32^{1/5}*e^{(vart den nu hamnar på axeln + 2n * n})/5

n = 0,1,2,3,4 (anledningen till att man inte tar 5 är för att det blir en loop) detta kommer att bli triognomentriiiisk (stavning) 32^{1/5} (cos n + i sin n)

Ja! Fast lösningen bör ju vara en periodisk funktion av tiden t (enligt vedertagen beteckning), så skriv hellre:

Θ = C1 *sin(kt) + C2 *cos(kt), där k = √(g/l)

Har du några givna begynnelsevillkor?

För att två plan skall vara parallella måste de ha samma normalvektor, eller att normalvektorn för det ena planet är en konstant multipel av normalvektorn för det andra planet. De måste dock ha olika konstantterm. 2x+y+2z=3 och 4x+2y+4z=6 är ju ett och samma plan (om man dividerar alla termer i den andra ekvationen med 2 så blir resultatet den första ekvationen). 2x+y+2z=3 och 4x+3y+5z=3 är inte parallella eftersom normalvektorerna (2,1,2) och (4,3,5) inte är parallella (man kan ju inte skriva (4,3,5) = k*(2,1,2) för något konstant värde på k).

Om vi istället tar planen 2x+y+2z=3 och 2x+y+2z=12 så kan vi hitta en punkt i det första planet genom att exempelvis sätta x = z = 0 så ser man omedelbart att y = 3. Normalvektorn för båda planen är (a,b,c) = (2,1,2), så vi konstruerar linjen (0,3,0) + t(2,1,2). Detta sätter vi sedan in i ekvationen för det andra planet: 2(0+2t) + (3+t) + 2(0+2t) = 12 ⇔ 4t + 3 + t + 4t = 12 ⇔ 9t + 3 = 12 ⇔ 9t = 9 ⇔ t = 1. Avståndet mellan planen 2x+y+2z=3 och 2x+y+2z=12 är därför lika med längden av vektorn t*(a,b,c) = 1*(2,1,2), dvs √(2²+1²+2²) = √9 = 3.

Punkten P i planet representerar det komplexa talet (1 + p3 i)^19 medan punkten Q representerar talet
(−1 + i)^36. Bestäm avståndet d(P,Q) mellan punkterna P och Q. (Ledtråd: skriv båda talen på formen
a + ib.)

lösning;
(−1 + i)^36 = 2^19 (0,5 + sqrt(3)/2 * i) ^19

= 2^19 (cos pi/3 + i sin pi/3)^19 försöker förstå hur man får 0,5 till cos pi/3 samt sqrt(3)/2 till cos pi/3.