*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

För stora x dominerar e^x över x^2.
Därför gäller √(e^x +x^2) ~ e^(x/2) och √(e^x - x^2) ~ e^(x/2).
Så 2x^2 / (√(e^x +x^2) + √(e^x - x^2)) ~ (2x^2) / (2e^(x/2)) -> 0 genom samma dominans.



Ja... Du ska ju ta gränsvärdet då t -> 0.

Dela båda leden med x^2. Då blir uttrycket

2/(√((e^x)/x^4 +1/x^2) + √((e^x)/x^4 -1/x^2))

Det går mot 0 för 1/x^2 går mot noll och (e^x)/x^4 går mot oändligheten. Det senare är ett standardresultat som man brukar använda i gränsvärdesbegränsningar. Exponentialfunktioner går snabbare mot oändligheten är potensfunktioner kan man uttrycka det som.

lim cos t när t går mot 0 är 1.

Ordonotation är väldigt användbar för att göra approximationer samtidigt som man är matematiskt strikt.
Vi utnyttjar att √(1 + u) = 1 + u/2 + O(u^2) samt att x^2/e^x -> 0 då x -> oo.
√(e^x +x^2) - √(e^x - x^2)
= e^(x/2) √(1 + x^2/e^x) - e^(x/2) √(1 - x^2/e^x)
= e^(x/2) ( √(1 + x^2/e^x) - √(1 - x^2/e^x) )
= e^(x/2) { [1 + x^2/(2e^x) + O((x^2/(2e^x))^2)] - [1 - x^2/(2e^x) + O((x^2/(2e^x))^2)] }
= e^(x/2) { x^2/e^x + O(x^4/(4e^(2x))) }
= x^2/e^(x^2) + O(x^4/(4e^(3x/2)))
-> 0 + 0 = 0.

Vill gärna dubbelkolla en uppgift:

e^(2x) + e^x = 4

Jag får x=ln(4)/3 men facit säger något annat. Kan någon förklara varför vanliga logaritmlagar inte gäller i fall det är så att jag har fel.

Jag antar att du logaritmerar båda sidor och får att ln(e^(2x) + e^x) = ln(4). Sen måste du på något sätt få att ln(e^(2x) + e^x) = 3x, det finns det dock ingen logaritmlag som stödjer... Det du möjligen tänker på är ln(ab) = ln(a) + ln(b)?

Ett korrekt sätt att lösa uppgiften är att sätta t = e^x så t^2 = e^(2x). Du återför du problemet på att lösa t^2 + t = 4 för t > 0.

Jag tänker så här:

ln(e^2x) = 2x*ln(e) och ln(e^x) = x*ln(e)

ln(e) = 1 vilket ger 2x+x = ln4 -----> x=ln(4)/3

Jag kom precis på knepet att substituera e^x med t men undrar fortfarande varför mitt första resonemang inte fungerar.

För att ln(a+b) inte är lika med ln(a) + ln(b). Du kan inte logaritmera termvis.

ln(e^(2x) + e^x) är inte i allmänhet lika med ln e^(2x) + ln e^x

Såklart... Pinsamt.

vill avgöra om dessa serier konvergerar/divergerar...

1)
sum_k=1->inf (-1)^k/k (1+1/k)^k
2)
sum_k=2->inf ln((k^2+1)/(k^2-1))

Skulle även vilja ha allmänna tips hur ert tankegångssätt är när ni möter såna här uppgifter. Börjar ni med att hitta bra förenklingar? Testa olika test? Kollar om a_k -> 0 då k ->inf?

Alternerande med avtagande belopp på termerna. Därmed konvergent.


ln((k²+1)/(k²-1)) = ln(1 + 2/(k²-1)) ~ 2/(k²-1) för stora k.
Konvergerar alltså som ∑ 1/k².

Stämmer det verkligen alltid? Är alltså alla serier på formen:

\sum (-1)^k a_k

Med a_k >= 0

Konvergenta om a_k > a_(k+1)?