Citat:
Ursprungligen postat av Sven-Dufva1
Citat:
Ursprungligen postat av Sven-Dufva1
Antag att funktionen f är kontinuerlig och deriverbar i origo samt att
lim f(x)/(x^2) = A≠0.
x→0
Visa att serien
∞
∑ f(1/n) är absolut konvergent.
n=1
Hmm, hur kan jag utnyttja infon som ges för att bevisa att serien är konvergent?
Jag ska tydligen jämföra med ∑ 1/n^2, men hur kan jag från det dra slutsatsen att "min" serie är absolut konvergent?
Genom att sätta x = 1/n ger antagandet att
lim n² f(1/n) = A ≠ 0.
n→∞
Enligt gränsvärdesdefinitionen betyder detta:
För godtyckligt ε > 0 finns N > 0 så att |n² f(1/n) - A| < ε då n > N.
Med ε = 1 ger detta att det finns N > 0 så att |n² f(1/n) - A| < 1 då n > N.
Olikheten kan skrivas om som (A-1)/n² < f(1/n) < (A+1)/n², dvs
|f(1/n)| < max(|A-1|/n², |A+1|/n²) = max(|A-1|, |A+1|)/n².
För seriens svans (n=N+1 ... ∞) gäller alltså
∑ |f(1/n)| < ∑ max(|A-1|, |A+1|)/n² = max(|A-1|, |A+1|) ∑ 1/n²,
dvs svansen och därmed hela serien är absolutkonvergent.
