*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Aaah! Tack tack! Ljus efter ljus tänds i mörkret! :-)

Hjälp med Envariabelanalys Differentialekvationer

En nödvattencistern i Sahara rymmer 300.000 liter. Varje dygn läcker 300 liter
av vattnet ut, men cisternen hålls hela tiden fylld med rent vatten med hjälp av
tankbilar från kusten. En dag håller en tjänsteman 1 liter klor i cisternen för att
hålla bakteriehalten nere på en godtagbar nivå. Efter hur lång tid har vattnets
klorhalt sjunkit till 1 ppm ( 10^(-4) %), som i detta fall anses vara det hygieniska
gränsvärdet?


Jag har suttit med den här uppgiften jättelänge men kan inte komma på differentialekvationen, någon som kan hjälpa mig?

Jag singlar en slant 357 gånger, antalet krona kan antingen bli udda eller jämt. Hur bevisar jag matematiskt att det är 50% chans att antalet krona blir udda?

Försök vara pedagogisk om du väljer att hjälpa mig, tack!

En bank har kommit på konceptet ”ögonblicklig ränta”, med vilket de menar att räntan räknas ut och läggs på saldot på kontot i varje ögonblick. Räntan är proportionell mot saldot. Detta beskrivs av en differentialekvation.

a) Ställ upp den differentialekvation som beskriver saldot som funktion av tiden.
b) Skriv funktionen som beskriver saldot som funktion av tiden. Förklara vad de ingående
konstanterna står för.
c) Banken vill ge en årsränta på 6% för ett konto som från början innehåller 30000 kr. Avgör
vilka värden konstanterna i b-*‐uppgiften har för detta konto.

A. yprim = ky

B?

C?

Kan ni hjälpa mig med denna och förklara pedagogiskt?

Du har en enkel differentialekvation, lös den!

yprim = ky

--> y = Ce^kt (Du kan derivera och se att det stämmer)

C

Begynnelsevärdet:

y(0) = 30 000 -> C = 30000

Årsräntan ger:

y(1) = 31800 -> 31800 = 30000*e^k -> 1.06 = e^k -> k = ln1.06


Vet inte riktigt vad du hakat upp dig på, eftersom det är en väldigt grundläggande uppgift.




Antar att man ska anta att kloret blandar sig jämnt.

y(t) = ppm klor

Sätt upp differentialekvationen:

y' = -y*(300/300000)

->y' =-y/1000

Lös differentialen (Som i uppgiften ovan).

Sätt in Begynnelsevärdet:

y(0) = 1/300 000* 1000 000 = 3


Leta efter y(t) = 1

Lös ekvationen y'=0 om y = e^3x-9x

Jag vet hur jag deriverar det men inte hur jag gör sen, är det ln man ska använda? Får iaf inte rätt på det...

Kan du visa hur långt du kommit på den? Har du väl fått ut y' så sätter du y'= 0 och får en ganska enkel lösning.

Låt variabeln X räkna totala antalet kronor av dina 357 slantsinglingar.

Då är X binomialfördelad och denna fördelning är symmetrisk:

P(X=1)=P(X=356)
P(X=3)=P(X=354)
...
P(X=357)=P(X=0)

Därför om du summerar över alla möjligheter med P(X=k) där k är udda får du samma sak som om du summerar över alla k där k är jämn. i.e. P(X är udda)=P(X är jämn) men P(X är udda)+P(X är jämn)=1 eftersom X antingen är udda eller jämn.

y'=3e^3x-9
3e^3x-9=0

Och så flyttar vi över:

9 = 3e^3x

3 = e^3x

[quote=Oformad]Du har en enkel differentialekvation, lös den!

yprim = ky

--> y = Ce^kt (Du kan derivera och se att det stämmer)

C

Begynnelsevärdet:

y(0) = 30 000 -> C = 30000





Tycker den var lite svårare än vanligt faktiskt. Men ja om jag förstått allt rätt så blir svaren såhär:

a. yprim = ky
b. y = Ce^kt
c. C =

Årsräntan ger:

y(1) = 31800 -> 31800 = 30000*e^k -> 1.06 = e^k -> k = ln1.06


Vet inte riktigt vad du hakat upp dig på, eftersom det är en väldigt grundläggande uppgift.

Tycker den var lite svårare än vanligt faktiskt. Men ja om jag förstått allt rätt så blir svaren såhär:

a. yprim = ky
b. y = Ce^kt
C = 30000
k = ln 1.06

c. Blir alltså y = 30000 e^(ln1.06 x t). Förlåt om jag är lite seg men är sjukt trött idag.

Skulle du kunna visa hur man skriver detta bevis på ett mer matematiskt sätt?

Tack!