*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Uppgiften http://forumbilder.se/show.aspx?iid=c45201152044P638d
Integrationsgränserna är alltså både över och under. Du kallar det för en summering, vad innebär det? Ska man summera arean?

Uppgift 2125:
Vi har en ekvation
y = x²+1, detta är en funktion vars värde bestäms på värdet av x. Vi kan kalla den f(x)

Alltså:

f(x) = x²+1

För alla grafer gäller att varje punkt ges av (x, f(x)). Alltså kan vi beräkna f(x) för ett givet x och därmed få ut y-värdet (höjden) av vår graf i en given punkt. I vårt exempel vet vi att x-värdet är 2. Då måste y-värdet i denna punkt vara f(2). Låt oss beräkna f(2).

f(2) = 2²+1 = 4+1 = 5

Alltså finns punkten (2, 5) på grafen. Sedan innan har vi också punkten (1, 2). Med hjälp av två punkter kan man nu bestämma k-värdet.

Om jag förstår uppgiften rätt så ligger både A och B på kurvan y=x^2 + 1, och då är det ju bara att räkna k = dy/dx.

Nej, det ska vara e^x om det du skrev i #18474 är rätt. Klicka på Show steps. Om det är e^2x framför får du med u = e^x

\int e^2x ln(e^x+1) dx = \int u*ln(u+1) e^x dx = [e^x dx = du] \int u*ln(u+1) du

och den kan du partialintegrera. Se Wolfram|Alpha.

Än en gång förklarar du på ett grymt sätt - props till dig Bengtz!

Hur gör vi nu på e? Vi har A:s koordinater. Och de vill ha reda på K-värdet. Ska vi göra som föregående uppgifter och dra nytta av funktionen?

Jag förstår nu. Tack så hemskt mycket!

Har du funderat på varför integrationstecknet ser ut som ett stort och utdraget S? Jo för att det är en summa. Sedan finns det en sats som säger "typ att" denna summan kan man beräkna genom att derivera baklänges. Dvs bestämma den primitiva funktionen.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/91/Integral_approximations.svg
Denna bilden om integraler kan vara bra att ha. Om höjden (funktionsvärdet) då är negativ så är integralen negativ.

Vad du vet då är att integralen är i stil lika med arean, typ. Men det är inte riktigt sant, men det kan ge en bra geometrisk bild av vad man pysslar med. Hur som helst så skall g(4) bestämmas. Vi vet att integralen häver derivatan. Därför är den primitiva funktionen g(x). Detta visste du ju. Sedan finns det en sats som säger att vi skall räkna "slutpunkt minus startpunkt". Det intervallet du då valde var ju från -2 till 4. Vilket är ypperligt.

Alltså:

4
∫g'(x)dx = g(4)-g(-2) = g(4)-3
-2

Genom att ställa upp detta har vi ett uttryck, nämligen uttrycket g(4)-3. Men eftersom vi är fiffiga bestämmer vi oss också för att beräkna arean av området där vi integrerar över. Men integralen är negativ om dess integrand (i detta fallet g'(x)) är negativ. Vi ser att g'(x) är negativ mellan -2 och 2. Integralens värde där är då negativ. Om vi då bestämmer oss för att beräkna arean från -2 till 2 så måste vi ta hänsyn till att denna area enbart kan representeras med integralen om vi använder den negativa arean.

Alltså vet vi att:

4
∫g'(x)dx = "negativa arean mellan x-axeln g'(x) i intervallet -2 till 2 samt arean mellan g'(x) och
-2
x-axeln från 2 till 4"

Vi börjar då med att räkna arean mellan x-axeln och vår integrand (alltså g'(x)) från -2 till 2. Vi ser att den arean är 9. Sedan kollar vi arean av det andra området. Den arean är 1.5.

Vi vet att integralen är -9+1.5. Eftersom det är den "negativa arean" då funktionen är negativ på dett intervall. Nu har vi uttryckt integralen på två olika sätt, dessa sätt är lika eftersom de representerar samma integral. Då kan vi uttrycka detta med en ekvation.

Vi får då ekvationen:

g(4)-3 = -9+1.5

Tack!

Tanken är att du skall utföra uppgift e) väldigt informellt. Du skall alltså gissa genom att titta på figuren och jämföra med uppgift d) och uppskatta ett troligt värde på k-värdet i den punkten. Men det är ju tråkigt, så jag skall försöka formalisera uppgiften en aning, även om det troligen blir överkurs (jag fattar det som att du typ läser Ma B?).

Men vad gör vi då?
Vi skall beräkna k-värdet då skillnaden i x går mot noll, eller hur? Då får vi en tangent till funktionen f i punkten A. Det är detta vi kallar derivata och det gör man i Ma C. Läser du Ma C eller Ma B eller något annat?

Hur som helst!

Hur gör vi när vi beräknar k-värdet? Jo vi har en given punkt, det är punkten A. Vi har också en annan given punkt, punkten B. Denna punkt B ligger på ett givet avstånd till punkten A, men om punkten B ligger på samma avstånd som punkten A, då räknar vi ju k-värdet för tangenten i just den punkten!

Tangent:

Till att börja med gjorde vi såhär om två puntker var kända:

A: (1, 2)
B: (2, 5)
Δy/Δx = (5-2)/(2-1) = 3 = k

Men nu har vi en punkt B som ligger ett visst avstånd från A. Vi kan då uttrycka B på ett annat sätt.

Vi har då istället:

A: (1, 2)
B: (1+a, 2+b)

Den har ju både annorlunda x-värde och annorlunda y-värde.

Δy/Δx = (2+b-2)/(1+a-1) = b/a

Vad hjälper då dessa oss? Mja inte mycket mer än bara Δy/Δx. Vi måste alltså hitta ett sätt att uttrycka variabeln b i termer av a! Vi vet ju att b måste bero på a. För beroende på vilket värde a vi väljer så kommer b variera på ett visst sätt, eftersom b är y-värdet och a är x-värdet. Vi vet ju att funktionens värde beror på x. Alltså vilket x-värde vi väljer, så får vi ett specifikt y-värde!

Vi går då tillbaka lite till hur vi gjorde innan.

A: (1, 2)
B: (2, 5)

Fast nu skall jag försöka uttrycka Δy/Δx med hjälp av f(x) istället. Då får vi se vad vi får.

A: (1, f(1))
B: (2, f(2))

k-värdet ges då av:

(f(2)-f(1))/(2-1) = (f(2)-f(1))/(1) = f(2)-f(1)

Mycket intressant. Men om vi väljer en punkt B, som är en liten godtycklig bit bort, i x-led, från A. Vi kan kalla denna biten för h (inte höjd alltså). Men vi kallar den h.

Då har vi:

A: (1, f(1))
B: (1+h, f(1+h))

Nu börjar det likna något. Vad händer om h går emot 0? Då befinner ju sig punkt B på punkt A. Men först skall vi börja att uttrycka k-värdet med hjälp av skillnaden i y, genom skillnaden i x.

k-värdet:

(f(1+h)-f(1))/(1+h-1) =
(f(1+h)-f(1))/h

Vi vet sedan innan att f(1) = 2, men vad är f(1+h)?

f(x) = x²+1
f(1+h) = (1+h)²+1

Vi kan nu använda kvadreringsregeln för att utveckla kvadraten, nämligen "beräkna" (1+h)².

f(1+h) = 1+2h+h²+1 = 2h+h²+2

Tillbaka till skillnaden i y genom skillnaden i x:

(f(1+h)-f(1))/h =
(f(1+h)-2)/h =

Nu stoppar vi in f(1+h)!

(2h+h²+2-2)/h =
(2h+h²)/h =

Eftersom tvåorna tog ut varandra.

h(2+h)/h =

Vi bröt ut ett h, i nästa steg kan vi då förkorta med h!

2+h

Vi vet alltså att skillnaden i y, genom skillnaden i x är 2+h. k-värdet är alltså 2+h, för vilken punkt B som helst som befinner sig på x-värdet h bort från punkten A. 2+h är den alltid! Vad händer då om h går emot noll? Vad går k-värdet emot då?

Tack för utförligt svar! Några frågetecken kvarstår (har strukit under de). Det är alltså den negativa nedre integrationsgränsen som bestämmer att arean också blir negativ? Och detta gäller alltid? Negativ nedre integrationsgräns= negativ area
Positiv nedre integrationsgräns= positiv area
samma gäller då för övre inte.gräns

Nej inte integrationsgränsen! Det är om du tittar på bilden till funktionen g'(x). Den är uppritad. Om vi integrerar över ett område som är under x-axeln. Dvs om g'(x) är negativ, så är också integralen negativ.

Har ingenting med integrationsgränsen att göra! Integralen är negativ från -2 till 2 enbart för att integranden (g'(x)) är negativ mellan -2 och 2. Eftersom y-värdet av funktionen g'(x) är negativt i detta intervall.

"Men integralen är negativ om dess integrand (i detta fallet g'(x)) är negativ. "
jag letar efter en genrell regel, kan man säga något i den här stilen:

om integranden är negativ är integralen också negativ, vice versa

Det betyder ju också att uppgifter med liknande tankesätt kräver en bild för att lösas? Eller

Vad ska man säga Bengtz? Du är en klockren lärare!

Pluggar i nuvarande stund på KTH- tekniskt basår, så vi går igenom MaC-MaE. Det här avsnittet är precis några blad innan derivatan, så det förutsätter att personen ifråga inte läst det tidigare - har dock läst kurserna sen tidigare - och du förklarar väldigt pedagogiskt, speciellt att du tog steg för steg

om h då går mot noll har vi vårt kvarvarande tal - dvs. 2!

Tror ditt inlägg blir som en utmärkt sammanfattning att läsa igenom för de avsnitt i boken som behandlar just det området - tackar!