*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Jag fattar inte heller..

Jag har skrivit det för men jag skriver det igen. Ni som svarar på dessa inlägg skall ha alla dagars ros. Det är guld värt att kunna vända sig hit för att få hjälp. Hoppas att jag kan få hjälp än en gång;

Funktionen f(x) = x4 - 4x3 - 20x2 har en eller flera minimipunkter. Bestäm denna/dessa.

Hur bestämmer jag detta ? Om jag ritar upp den; http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+f%28x%29+%3D+x4+-+4x3+-+20x2

så ser man att -2x och 5x är minimipunkter men hur "räknar" jag fram detta ?

Skriv snarare att x=-2 och x=5 är minimumpunkter, "-2x och 5x är minimipunkter" är inget som skrivs. Du börjar med att derivera:

f'(x) = 4x^3 - 12x^2 - 40x

Nu söker vi f'(x) = 0 så:

4x^3 - 12x^2 - 40x = 0
4x*(x^2 - 3x - 10) = 0

Notera nu att 4x = 0 <=> x = 0 eller x^2 - 3x - 10 = 0, löser man x^2 - 3x - 10 får man x = -2 och x=5. Så vi har extrempunkter eller terasspunkter när:

x = 0
x = -2
x = 5

För att avgöra karaktären av dessa kan du göra en teckenstudie, eftersom jag antar att du inte känner till testet med andraderivatan.

Du tittar om funktionen växer/avtar innan efteråt och avgör sen.

Okej. Jag är tyvärr inte helt med. 4x^3 - 12x^2 - 40x = 0 är jag med på men hur får du fram 4x*(x^2 - 3x -10) = 0 ? Och hur får du x=-2 och x=5 ? Jag kanske borde förstå men är inte med på noterna. Går det att utveckla ?

Bör utveckla. Är det alltså så att man letar efter de värden som leder till att det blir 0 ?
I detta exempel blir ju 4*(-2)^3 - 12*(-2)^2 - 40*(-2) = 0 samma svar får jag om jag sätter in 5. Är jag då på rätt spår ?

Ja, när derivatan är 0 så har kurvan ingen lutning vilket betyder att den punkt då derivatan är 0 antingen är en ändpunkt eller en terasspunkt.

För att göra det enkelt för sig att se när derivatan är 0 ska du försöka bryta ut och förenkla så långt det är möjligt. Som tidigare användare gjorde i sitt inlägg så hittade han att alla termer innehåller ett x och är delbara med 4. Du kan alltså bryta ut 4x. Du ska alltså inte sitta och chansa dig fram för att få reda på vilket värde på x som gör att derivatan blir 0.

Du ser att om du bryter ut 4x så får du en andragradsfunktion i parentesen. För att få ut när andragradsfunktionen blir 0 så använder du dig av PQ-formeln eller så kvadratkompletterar du, vilket jag antar att du känner till. När parentesen blir 0 så blir även hela funktionen 0 eftersom något som multipliceras med 0 alltid blir 0.

I detta fall så blir andragradsfunktionen (alltså parentesen) 0 när x=-2 och x=5. 4x blir 0 då x=0. Du har alltså tre ställen i din funktion där derivatan är 0. För att se huruvida det är en max eller min-punk så ritar du upp ett teckenstudium som kommer att se ut ungefär såhär(svårt att rita med enbart text):

__________-2_____0_____5__________
4x
(x+2)
(x-5)

f(x)

f'(x)
__________________________________


Nu är det bara att fylla i.
Är 4x positivt eller negativt då x<-2, -2<x<0, 0<x<5
Är (x+2) positivt eller negativt då x<-2, -2<x<0, 0<x<5
Är (x-5) positivt eller negativt då x<-2, -2<x<0, 0<x<5

Observera att jag inte skriver tecknet "är mindre än eller lika med".

Hur ska man tackla följande:

Ge bevis eller motexempel till följande påstenden om funktionen f(x):
a) Om |f (x)| är kontinuerlig på intervallet (a, b) så är även f (x) kontinuerlig där.

b) Om f (x) är kontinuerlig på intervallet (a, b) så är även |f (x)| kontinuerlig där.

Stationär punkt, dvs antingen en extrempunkt eller en terrasspunkt. Ändpunkt är något annat.

Har svårt att förklara hur man skall tänka, då jag ser ett motexempel direkt:
Sätt f(x) = -1 om x < 0, f(x) = +1 om x ≥ 0.
Är |f(x)| kontinuerlig? Är f(x) kontinuerlig?

Ett "häftigare" exempel är:
Sätt f(x) = -1 om x är rationellt och f(x) = +1 om x är irrationellt.
Då är f diskontinuerlig i varje punkt. Men |f| är kontinuerlig i varje punkt.


Detta är sant.
Antag att f är kontinuerlig i c Є (a, b). Sätt g(x) = |f(x)|.
Vi skall visa att lim g(x) = g(c), där lim tas då x → c.
lim g(x) = lim |f(x)| = { |...| kontinuerlig } = |lim f(x)| = { f kontinuerlig } = |f(c)| = g(c).

a) Absolutbeloppet kan lappa ihop diskontinuiteter som är symmetriska kring 0. Det jag just sa var inte så konstigt. Tänk att f(x) = 1 på vänstra halvan av intervallet och = -1 på högra halvan. Då är ju |f(x)| = 1 överallt och alltså kontinuerlig trots att f(x) inte är kontinuerlig.

Någon som har koll på hur man deriverar roten ur X^3? Tacksam för hjälp!

Skriv roten ur som ^(1/2) istället så kommer du lättare att se.

f(x)=(x^3)^1/2

f'(x)=1/2*3x^2*(x^3)^(-1/2)

Ta det steg för steg och metodiskt bara.