*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Ännu en uppgift med logaritmekvation -.-

ln(x^2 - 11) = ln(4 - 2x)

Exakt hur ska jag göra här? Går väl inte med vanliga logaritmreglerna när det står (-11) och (-2x) efter i båda ekvationerna?

En liten fråga. Måste bevisa med hjälp av derivatans definition att derivatan av 5 är 0
f(x)=5 -> f'(x)=0.
Hur ska man göra det? Verkar enkelt men kan inte klura ut det. Har redan löst andra uppgifter som var "svårare" som att bevisa x^n har derivata nx^n-1 men den här förstår jag mig inte på

Du identifierar att

x² - 11 = 4 - 2x

men bara om och endast om argumenten för logaritmerna antar ett värde större än noll. En logaritm är ju ej definierad när dess argument är i likhet med eller mindre än noll.

Med andra ord måste

x² - 11 > 0
x² > 11
x > √11

och

4 - 2x > 0
4 > 2x
2 > x
x < 2.

Villkoren för vilket värde x får lov att anta sammanfattas till

x > √11

och

x < 2.

Nu löser vi ekvationen med hjälp av antingen kvadratkomplettering

x² - 11 = 4 - 2x

x² + 2x - 15 = 0

(x + 1)² - 1 - 15 = 0

(x + 1)² - 16 = 0

(x + 1)² = 16

x + 1 = ±√16

x₁ = 4 - 1 = 3

x₂ = -4 - 1 = -5

eller PQ-formeln

x² + 2x - 15 = 0

x = -1 ±√16

x = -1 ±4

x₁ = 3

x₂ = -5

vilken du än föredrar. Personligen gjorde jag båda, och det brukar jag alltid göra. Dubbelkolla så allt står rätt till.

Gäller x₁ och x₂? Kanske. x fick ju endast lov att anta värdena

x > √11

eller

x < 2.

Nu råkar det vara så att

2 < x₁ < √11,

alltså stämmer detta x-värde inte.

Däremot är

x₂ < 2,

vilket verkar stämma överens med våra givna villkor.

Svar:
x = x₂ = -5

Stoppa in x-värdet i ursprungsekvationen (den absolut första) och kontrollera slutligen så allt stämmer.

Edit: Den absolut första ekvationen är alltså

ln(x^2 - 11) = ln(4 - 2x)

Tja, låt f(x) = 5. Vad får du om du skriver ut definitionen för f'(x)?

Några kommentarer. Olikheterna:

x² - 11 > 0 samt 4 - 2x > 0 ger att x > √11 eller x < -√11 och 2 > x. Detta ger att x < -√11.

Sen kanske man bör notera att man kan helt sonika "ta bort" ln-funktionen och sätta argumenten lika eftersom det är en injektiv funktion.

f'(x) = lim(h->0) [(f(x+h)-f(x))] / h]
f'(x) = lim(h->0) [(x+h) - 5)] / h]

Skulle inte ha några problem att fortsätta om (x+h) var (x+h)^n. Men i detta fall har jag ingen aning hur jag ska fortsätta.

Alltså, om f(x) = 5 för alla x gäller det ju även att f(x + h) = 5 ty funktionen är ju konstant. Därmed:

f'(x) = lim (h → 0) (f(x + h) - f(x))/h = lim (h → 0) (5 - 5)/h = lim (h → 0) 0/h = 0

Wow, mer sånt här vill jag se!
Tack för din uträkning i detalj, nu förstår jag precis hur man gör Tack!

Hur kommer du fram till x < -√11? Grafiskt ser jag det, att grafen x² > 11 då x > √11 och spegelvänt, så då borde det vara -√11, eftersom det är en parabel. Men algebraiskt?

x² > 11
x > ±√11
x > √11
x > -√11

I uträkningen förut missade jag ±, men det verkar ju skita sig här så det kanske var lika bra det

Var går det fel?


Okej. Att funktionen är injektiv var vad jag menade tror jag, visste bara inte att det fanns ett namn för det.
Har jag förstått injektiv funktion rätt om jag säger att ln-funktionen är injektiv eftersom att

ln(x) = ln(y) ⇔ x = y

men bara om

x = y > 0?

Mer generellt kanske man skulle kunna säga att

f(x) = f(y) ⇔ x = y

om x och y håller sig inom definitionsmängderna, och det kan variera, t.ex. ln måste det vara större än noll, i division måste nämnaren vara skild från noll, i roten ur-uttryck måste det vara större än noll etc?

Np.
Notera kommentarerna från Otrolig. Svaret är visserligen rätt men jag slarvade med olikheterna, och nu råkade vi ha tur att det var en rot som var mindre än -√11.

Behöver lite hjälp
densiteten för en tråd med längden L är proportionell mot produkten av avstånden till trådens ändpunkter med proportionalitetskonstanten k. Vad blir massan??

Om x ≥ 0 så gäller att √(x²) = x och om x < 0 så gäller √(x²) = -x. Dela upp i två fall:

x ≥ 0: x² > 11 ⇔ √(x²) > √11 ⇔ x > √11
x < 0: x² > 11 ⇔ √(x²) > √11 ⇔ -x > √11 ⇔ x < -√11

Dock, efter vana brukar man helt enkelt inse att x² < λ ⇔ -√λ < x < √λ och det "motsatta" fallet x² > λ ⇔ x > √λ eller x < -√λ där λ > 0. Tänker du efter så är detta mycket logiskt.

Placera tråden i origo och låt den gå över x-axeln för 0 ≤ x ≤ L. Avståndet från ändpunkten i origo på godtycklig punkt i tråden är x och för den andra ändpunkten är avståndet L - x.

Vi vet att densiteten ρ är proportionell mot mot produkten av dessa avstånd med k. Detta ger:

ρ(x) = k(L - x)·x

Vidare gäller att ρ = m/l och ett infinitesimalt masselement ges av dm = ρ·dl. I det här fallet har vi alltså dm = k(L - x)x·dl och för att få ut trådens massa summerar du alla dessa masselement med hjälp av en integral över hela trådens längd (observera att dl = dx).