Som lovat kommer ett inlägg om universums form.
Vad menas med att den lokala geometrin är platt?
Den lokala geometrin är geometrin för det
observerbara universum. Universum är platt om det finns tillräckligt med materia som gör att expansionen stannar efter en oändligt lång tid. Det är ett direkt resultat om universums medeldensitet är lika stor som dess kritiska. Ett platt universum är gränsen mellan ett
öppet och ett
stängt. I ett öppet universum är krökningen negativ, stängt positiv och vid ett platt är den så klart noll.
Om universum är platt kommer exempelvis två parallella ljusstrålar förbli det, de möts aldrig eller viker av.
Euklidisk geometri gäller om krökningen är noll. Vinkelsumman för en triangel är 180°, varken mer eller mindre.
Den kritiska densiteten
Vi börjar med att titta på
Hubbles lag;
1) v = HD
H är Hubblekonstanten, D är avståndet mellan två galaxer och v är hur snabbt expansionen driver galaxerna isär.
Densitet beskrivs som förhållandet mellan materia och volymen;
2) ρ = M/V
Volymen av en sfär kan man beräkna genom;
3) V = (4∏r³)/3
Sätt nu in 3) i 2), bryt ut M och få den totala massan för en sfärisk rymd med radien D (distance).
Vi får då;
4) M = (4∏D³ρ)/3
För att gå vidare måste vi titta på formeln för
flykthastighet.
Flykthastigheten är den hastighet där rörelseenergin E(k) tar ut den gravitationella potentialen (Ug).
E(k) = ½mv²
U(g) = (GMm)/r
där v=Hastigheten, m=mindre massan, M=större massan, r=avståndet mellan massorna.
E(k) = U(g)
½mv² = (GMm)/r
v²/2 = GM/r
v² = 2GM/r
5) v = √(2GM/r)
Flykthastighet kan beräknas för Jorden, Månen, Solen, Vintergatan eller en specifik rymd med radien D och massan M.
Ta nu massan från 4) och sätt in i 5);
ve = √(2GM/D)
M = (4∏D³ρ)/3
6) ve = √((8ρG∏D³)/3D
För att Universum inte ska kollapsa, måste galaxernas hastighet v vara större än flykthastigheten mellan dessa två;
v > ve
Av 1) v = HD och 6) ve=√((8ρG∏D³)/3D samt v>ve, kan vi nu härleda hur stor densiteten måste vara för att inte kollapsa. Det gör vi genom att kombinera dessa två, förenkla och bryta ut ρ;
HD > √((8ρG∏D³)/3D)
H²D² > (8ρG∏D³)/3D)
H²D² > (8ρG∏D²)/3
Det vi kan se nu är att oavsett vilket avstånd i universum vi tillämpar detta, så spelar avståndet "D" ingen roll alls. D² kan förkortas på båda sidor.
H² > (8ρG∏)/3
Vi bryter ut ρ;
ρ > 3H²/8G∏
För att nu veta den kritiska densiteten, behöver vi bara få ett bra värde på hubblekonstanten (H) samt använda de andra två G & ∏;
ρ ≈ 9x10^-27 kg/m³ (
Om du vill prova beräkna denna själv, använd SI-enheten 1/s och inte Mpc för H. Plancks värde på H är 2.17x10^(-18) 1/s.)
Den kritiska densiteten är alltså den densitet universum ska ha för att inte kollapsa under sin egen gravitation. Eller, den densitet som krävs för att geometrin ska vara platt.
Omega ( Ω )
Universum är platt om medeldensiteten är lika stor som den kritiska densiteten;
ρ = ρ(crit)
Förhållandet mellan dessa två kallas Omega ( Ω ) och om de är lika stora är Ω=1. Är Ω>1 är geometrin stängd, Ω<1 öppet.
Men nu är det så att universum består inte bara utav atomer. Utan även strålning, mörk materia & mörk energi och då ser ekvationen ut så här;
ΩΛ + Ωm + ΩR = 1
Ωm är universums medeldensitet (mörk materia och vanlig) dividerat på den kritiska.
ΩΛ är
energidensiteten av den mörka energin, dividerat på samma kritiska densitet.
ΩR är strålningen (som till största delen består av den
kosmiska bakgrundsstrålningen, CMB) är försumbar, eftersom universum idag domineras av den mörka energin och materia. Den finns där, men är mycket liten, ungefär 20 000 ggr mindre än materian.
Vi kan skriva samma uttryck så här;
ρΛ/ρ(crit) + (ρM + ρm)/ρ(crit) + ρR/ρ(crit) = 1
Eller, lite förenklat utan strålningen;
ρΛ/ρ(crit) + ρm/ρ(crit) = 1
Det finns flera olika sätt att ta reda på om universum är platt eller ej. Ett är att beräkna medeldensiteten för universum. Den kritiska densiteten får vi genom att bestämma H och ska vi bestämma universums medeldensitet behöver vi beräkna massan och en volymen. Inte för hela universum, men för ett tillräckligt stort område som motsvarar genomsnittet.
Densiteten i det rum du sitter i är inte representativt för hela universum, så det vi måste göra är att titta på ett större område. Ökar vi hela tiden volymen och samtidigt klarar av att beräkna massan som finns innanför kan vi faktiskt komma fram till ett bra värde på universums densitet. Det räcker faktiskt inte med att kolla på några miljoner ljusår i kubik för volymen, utan ännu större. När vi ökat volymen så att densiteten inte förändras mer får vi nöja oss.
Denna metod är svår, och här kan vi bara säga att universum nästan är platt.
Densiteten av den materia vi kan se är ungefär 1/100 väteatom per kubikmeter. Den kritiska densiteten motsvarar 5 väteatomer per kubikmeter. Sen har vi den här mystiska mörka materian som tillsammans med den vanliga utgör ungefär 1/3 av universum. Resten är mörk energi (Λ).
Bild.
Analyser av den kosmiska bakgrundsstrålningen säger att universum är platt. Är fluktuationerna i bakgrundsstrålningen en grad, motsvarar det att universum är platt. Resultaten från WMAP säger att geometrin är platt. (med en felmarginal på 15%), Planck (med en felmarginal på 0.4%).
Här ser du också varför Planck ger ett bättre svar.
): 
