__________________
Senast redigerad av preben12 2014-05-19 kl. 19:09.
Senast redigerad av preben12 2014-05-19 kl. 19:09.
Citat:
Hej hade någon kunnat vara så snäll och steg för steg beskriva för mig hur man ska göra här?
Uppgiften är som följer:
Bestäm den lösning till differentialekvationen:
y'(x)+ y(x)/x= 2/(x^2-1)
Där x>1 samt y(2)=0
Jag började personligen med att skriva om det som
dy/dx+ y(x)/x= 2/(x^2-1)
Men sedan vet jag inte hur man ska gå till väga för jag lyckas inte få varken x eller y ensamt i ett led så att jag kan integrera, och vet inte hur jag ska göra annars, eller det kanske t.om finns en lättare metod? Har kollat upp lösningar på wolfram o dyl men hänger inte med i resonemanget alls
Tackar i förväg
Uppgiften är som följer:
Bestäm den lösning till differentialekvationen:
y'(x)+ y(x)/x= 2/(x^2-1)
Där x>1 samt y(2)=0
Jag började personligen med att skriva om det som
dy/dx+ y(x)/x= 2/(x^2-1)
Men sedan vet jag inte hur man ska gå till väga för jag lyckas inte få varken x eller y ensamt i ett led så att jag kan integrera, och vet inte hur jag ska göra annars, eller det kanske t.om finns en lättare metod? Har kollat upp lösningar på wolfram o dyl men hänger inte med i resonemanget alls
Tackar i förväg
För detta måste du använda en metod som heter integrerande faktor. Man kan se vänsterled som en produktregel när man deriverar. Så nu måste man "motverka den". Skriver ner sambandet för integrerande faktor
[;y'+g(x)y=f(x);]
I vårt fall som du har presenterat är vårt g(x)=1/x och f(x) 2/(x^2-1). Så integrerande faktor säger att vi kan skriva om detta som
[;\dfrac{d}{dx}(e^{G(x)}y)=e^{G(x)}f(x);]
Så vi behöver ta fram en primitiv funktion av g(x). Den primitiva funktionen av 1/x är lnx. e^(lnx) är bara x.
Det ger oss följande
[;\dfrac{d}{dx}(x\cdot y})=\dfrac{2x}{x^2-1};]
Integrerar båda sidor, när vi integrerar vänsterled så försvinner derivatan så den blir kvar som den är, vi fokuserar på högerled
[;x\cdot y=\int{\dfrac{2x}{x^2-1}dx;]
Såg krångligt ut att integrera högerled så vi gör en substitution. u=x^2-1 och du/dx=2x. Löser ut dx så det blir dx=du/2x och ersätter dx i uttrycket
[;x\cdot y=\int{\dfrac{2x}{2xu}du;]
2x tar ut varandra i nämnare och täljare så kvar blir 1/u och integralen på det blir lnu+C. Substituerar tillbaka vad u var ursprungligen samt vi löser ut funktionen y i vänsterled, dvs dividerar på x på båda sidor.
[;y=\dfrac{ln(x^2-1)}{x}+\dfrac{C}{x};]
Sätter in vårt värde som du sa y(2)=0
[;y(2)=\dfrac{ln(4-1)}{2}+\dfrac{C}{2}=0;]
Löser ut C i vänsterled
[;C=-ln3;]
Svaret blir [;y=\dfrac{ln(x^2-1)}{2}-ln3;]
För att hänga med i vad jag har skrivit så förslår jag att du kollar länken i min kommentar. Kommer bli så himla rörigt annars att skriva detta utan latextext. Om du inte redan har pluginet installerat dvs.
Hoppas det hjälpte!
Citat:
Citat:
Du har använt rätt symboler. √x kan man säga är "talet som multiplicerat med sig självt blir x". Om du multiplicerar √x med sig självt, vad får du då? Jo x! Man kan då skriva täljaren som x*√x
√x + √x + √x är samma sak som 3*√x. Hela uttrycket blir då
x*√x
______
3*√x
√x finns både i täljaren och i nämnaren, så kvar blir då x/3.
√x + √x + √x är samma sak som 3*√x. Hela uttrycket blir då
x*√x
______
3*√x
√x finns både i täljaren och i nämnaren, så kvar blir då x/3.
Förstår precis, tackar så mycket
Skapa ett konto eller logga in för att kommentera
Du måste vara medlem för att kunna kommentera