*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Antagligen menar du rätt, men formulerat blir det fel.

Du kan inte anta att det du ska visa gäller. Det du antar är att påståendet P(n) gäller och det du visar är att P(n+1) gäller.

Mer precist, i ett induktionsbevis visar man två delar:

1. P(0), dvs påståendet gäller för n = 0,
2. för n = 0, 1, 2, ... gäller implikationen "om P(n) så P(n+1)".

För att visa implikationen gör man antagandet att P(n) gäller för ett godtyckligt n (bland 0, 1, 2, ...) och visar att P(n+1) också då gäller. Eftersom man från P(n) har kunnat visa P(n+1) så kan man dra slutsatsen att implikationen "om P(n) så P(n+1)" gäller, och eftersom n var godtyckligt (bland 0, 1, 2, ...) kan man dra slutsatsen att implikationen gäller för alla sådana n.

Kommentar till anteckingarna. Du får

VL: (n(n+1)/2)² + (n+1)³ = ... = ¼ (n+1)²(n+2)².

Detta ger, om vi än en gång använder uttrycket för aritmetisk summa,

VL: (n(n+1)/2)² + (n+1)³ = ((n+1)(n+2)/2)² = (1+2+...+n+1)².

Precis, tack. Står dock så här i hinten också när man gluttar i hints bak i boken. Det visar sig stämma också om man sätter inte exempelvis n=3 så blir resultatet 36 =(1+2+3)^2=36. Är det uttrycket ekvivalent med ((n+1)(n+2)/2)² ?
hint prove,
1^3+2^3+...+n^3=(1/4)n^2(n+1)^2, (Number theory/George E.Andrews ISBN 978-0-486-68252-5)

Smirnov har varit i Geneve sen 2003 (om det nu var honom du menade).

Jag blev nyfiken på om man kan räkna ut hastigheten bakvägen vid en kollision mellan en bil och en motorcykel.

Låt säga att motorcykeln står still vid ett övergångsställ och blev sedan påkörd bakifrån av en bil. Motorcykeln rullar då fram 35 meter och kraschar in i ett träd och får ändå relativt omfattande skador. Bilen fortsätter att rulla 7 meter från att den träffar motorcykeln till att den står helt stilla.

MC väger ca 300 kg, bilen låt säga 2 ton. Givetvis beror detta på hur bilen träffade MC och deformationszoner osv. Låt säga att backdäcket på MC tog den mesta kraften, bilen blev gravt deformerad och det är en 2018 års modell på bilen med god krocksäkerhet.

Kan man med dessa vaga uppgifter bilda sig en omfattning om vad bilen hade för hastighet?

Låter lurigt, krocken med trädet gör det hela svårare. Men låt säga att något går sönder på fordonet när det krockar med trädet. Då kan man testa att köra tex ett däck(om framdäcket pajade) in i en vägg med litet olika kraft, acceleration osv.

Sedan kan man kanske räkna baklänges med en friktionskoefficient för att få en uppfattning om vad fordonet kan ha haft för minsta hastighet vid kollisionen.

Sedan kan man kanske använda metoder liknande denna sida för själva krocken:
http://fysikguiden.se/exempel-pa-oelastisk-stot/

Nej.

Du vill deducera ingående energis hastighet utan att känna till utgående hastighet. För att hypotetiskt kunna göra detta måste vi veta mer kring motorcykelns anslagsriktning och kraft in i trädet - och även då blir det stora felmarginaler. Förutsätter vi motorcykelns utgående hastighet i ett plan (dvs, att motorcykelns utgående vektor är i motsatt riktning av den ingående) till (exempelvis) 35m/s får vi enligt formeln:

Vut = (2 x mA/(mA + mB))Vin

där;

Vut => Utgående massas hastighet i m/s
mA = Massa av bil i kg
mB = Massa av mc i kg
Vin = Ingående massas hastighet i m/s

35 = (2 x 2000 / 2300) * X

där X är ingående bils hastighet. Löser vi ut X får vi, X = 20m/s.

Observera att detta förutsätter en perfekt krock där all rörelsenergi från bilen fördes över till MCn. Du kan läsa mer här:

https://www.khanacademy.org/science/...tic-collisions

Tack för att du delger formeln för att beräkna detta. Jag förstår att detta inte skulle vara en elastisk kollision men ändå intressant att få en uppfattning om vad de verkliga siffrorna är, då jag för två dagar sedan upplevde detta, som förare av motorcykeln.

Jag skulle säga att det är rimligare att det tog 2 sekunder för motorcykeln att nå trädet. Så om vi halverar Vut till 17 borde X=10 istället. Nu vet jag med mig att fronten på bilen blev rätt deformerad, hur mycket av den totala kinetiska energin krävdes för deformationen vet jag inte, men låt säga 30%. Då är ingående hastighet 7 m/sekund, vilket blir 21 km/h. Det skulle jag säga är en relativt rimlig uppskattning av hastigheten, om än något låg baserat på kraften jag upplevde vid kollisionen.

Insåg att man kan ju räkna detta utifrån ett annat perspektiv, att jämföra bromssträckan. Efter att ha granskat olycksplatsen vet jag att den var minst 7 meter, eventuellt 8 meter. I detta fall antar jag att bilen bromsar för fullt (och bortser från energiförlusten när bilen träffar motorcykeln).
Formel: s = v2 / (250 * f)

s = bromssträckan i meter (ska räknas ut).
v = hastighet i km/h.
250 = fast tal som alltid används.
f = friktionstal, cirka 0,8 på torr asfalt och 0,1 på slät is.
https://korkortonline.se/teori/reaktion-broms-stopp/

Med en bromssträcka på 8 meter ger det oss en hastighet av 40 km/h, vilket jag tror är nära din ursprungliga beräkning om man inkluderar energiåtgången för deformationen av bilen.

Ahh, DU råkade ut för en olycka?
Mina siffror var bara för exempel i uträkningen och har inget med dina siffror att göra.
Det är oerhört svårt att deducera ut ingående hastighet vid träff-ögonblicket baserat på dessa data. Taget situationen är det viktigaste att alla inblandade är ok

Yes, det är några år sedan jag intresserade mig för matte men fick en nyck nu när jag är hemma och sjukskriven ett par dagar. Jag är okej, mest blåslagen, jag hade en himla tur men det var en ordentlig smäll. Tänkte därför att det vore kul att gå igenom situationen matematiskt för att se vilka krafter det rör sig om.

Om du blev påkörd bakifrån vid ett övergångställe bör bilisten anses vållande till olyckan. Tur att du klarade dig hyfsat.


OK, v = 40 km/h om reaktionssträckan kan försummas.

Utnyttja att fordonens sammanlagda rörelsemängd bevaras under kollisionen (antag rätlinjig rörelse):

MV = Mv + mu ... (*), där

M = bilens massa, m = motorcykelns massa,
V = bilhastighet omedelbart före krock,
v = bilhastighet omedelbart efter krock,
u = mc-hastighet omedelbart efter krock.

Enligt ovan är v = 40 km/h.

Vi behöver ett till samband för att bestämma V. Stöttalet e definieras

e = |relativ hastighet efter stöt| / |relativ hastighet före stöt|,

dvs i vårt fall, e = (u-v)/V. Notera att e är ett tal mellan 0 och 1.

Sätt (förslagsvis) e = 1/2, vilket ger u - v = V/2.
Insättning av u = v + V/2 i (*) ger sedan

MV = Mv + m(v + V/2) => (M - m/2)V = (M + m)v, så

V = (M + m)v /(M - m/2) = { med M = 2000 kg, m = 300 kg } ≈ 50,0 km/h.

Bra att det inte slutade värre! Skulle tro att det bästa vore om man fick testa bromssträcka med samma fordon och under samma förhållanden. Det kan ju finnas variationer när det gäller bromsar osv. Då det är så stor viktskillnad mellan fordonen borde själva krocken vara försumbar.

Fast jag gissar på att det möjligen är polisen som får göra ett sånt test, om de anser att det behövs?