*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Jättebra förklarat, nu hänger jag med!

Rektangeln har ju bara två sidor som har längden x, så det måste alltså vara 2x + 2y (om y är längden på kortsidan i figuren) och inte 4x + 2y.

Jag antar att du felaktigt har infört att x skulle vara avståndet från mitten på halvcirkelns räta sida till rektangelns hörn. Om du tittar på figuren så ser du att x är hela längden av rektangelns långsida.

Jo, precis. Det var dock lättare att inse när man deriverat med kedjeregeln.

Du skriver i länken du postade igår:

”Pythagoras sats ger: h^2 + (x/2)^2 = 1, ...”

vilket är korrekt enligt figuren till problemtexten.
Alltså, h² = 1 - x²/4 = (4-x²)/4, så

h = (1/2)·√(4-x²).

Om rektangeln har basen x (som i figuren) och höjden h blir omkretsen:

O(x) = 2x + 2h = 2x + √(4-x²), där 0 ≤ x ≤ 2.

Detta stämmer med de förväntade resultaten för extremfallen x = 0 och x = 2:
O(0) = 2 och O(2) = 4.

Edit, problemtext: http://imgur.com/a/o9dLk

Hej! Jag har en uppgift i en kurs i stokastiska variabler som jag inte får någon rätsida på. Inte den mest upphetsande uppgiften kan jag tycka, men jag skulle verkligen uppskatta hjälp från någon som kan.

"Find the cross correlation function R_XY(s,t) for the continuous time processes X(t) = 2sin(ωt + Θ) and Y(t) = 2cos(ωt + BΘ) for t∈ℝ, where ω∈ℝ is a constant and Θ and B are independent random variables with Θ continuous and uniformly distributed on the interval [0,π] and B discrete with possible values -1 and 1 that have equal probability 1/2. Hint: 2sin(x)cos(y) = sin(x + y)sin(x - y)"

Facit löser på följande sätt:

R_XY(s,t) = E[X(s)Y(t)] =
4E[sin(ωs + Θ)cos(ωt + BΘ)] =
2E[sin(ωs + Θ)cos(ωt + Θ)] + 2E[sin(ωs + Θ)cos(ωt - Θ) = {Här använder de hinten} =
E[sin(ω(s + t) + 2Θ)] + E[sin(ω(s - t))] + E[sin(ω(s + t))] + E[sin(ω(s - t) + 2Θ)] =
sin(ω(s - t)) + sin(ω(s + t)) = {Hinten igen, åt andra hållet} =
2sin(ωs)cos(ωt)

Det jag undrar är:
På rad 3, använder de att B har en diskret fördelning och helt enkelt delar upp väntevärdet i B:s två möjliga utfall och stoppar in B:s värden samt multiplicerar med sannolikheten för utfallen? Är detta i så fall något generellt som är okej att göra med väntevärden?

Efter att de använt hinten första gången, hur sjutton tar man sig från uttrycket med fyra termer till nästa, där E är borta och inget beror på Θ? Här är jag helt lost.

Tack på förhand!

Ja, det är vad de gör och det är generellt tillåtet.


Man kan beräkna väntevärdena genom att använda definitionen. Eftersom Θ är likformigt fördelad så är täthetsfunktionen en konstant och E[g(Θ)] blir generellt ∫f(Θ)*g(Θ)dΘ, där f(Θ) är täthetsfunktionen som alltså är en konstant. Sedan, eftersom Θ kan anta värden mellan 0 och π så kan 2Θ anta värden mellan 0 och 2π, varför integralen av symmetriskäl blir noll (2π är ju en hel period för sinusfunktionen). Således blir man av med termerna som innehåller Θ och väntevärdet av de andra är helt enkelt funktionerna som de redan ser ut eftersom ω, s och t inte är stokastiska.

Tack så mycket!

Varför ska exponenten blir 0 och varför ska summan av exponenterna som tilldelas till 1/2 respektive -2 vara 10?

(x^(1/2) + 3x^(-2))^(10) skriver jag uttrycket som.

Det efterfrågas ju en term som är en "sifferterm", vilket alltså betyder att den inte ska innehålla något x. Detta är samma sak som att den ska innehålla x⁰, dvs exponenten 0.

Uttrycket du arbetar med har ju en yttre exponent 10, vilket betyder att man multiplicerar ihop hela uttrycket inom parentes 10 gånger. Därför består varje term i det utvecklade uttrycket av en produkt av exakt 10 faktorer (en från respektive parentesuttryck).

Du har ju själv i ditt första inlägg skrivit exponenterna för de två termerna inom parentes som 10-k och k, och summan av de två blir ju 10. Det ser alltså ut som att du redan förstod att summan ska bli 10.

Jag förstår det nu. Men hur gör man exempelvis här, när det inte är ett helt antal a³-faktorer (som i fallet där vi hade a² och det behövdes 4 stycken sådana faktorer):

Bestäm koefficienten för a⁷-termen i utvecklingen av

(a³ - (3/a))⁵

Den yttre exponenten är 5 och de enskilda termerna har exponenterna 3 respektive -1.

Generellt uttryckt så söker man alltså efter ett k så att (tänk på potenslagarna)

3*k + (-1)*(5-k) = 7
3k - 5 + k = 7
4k - 5 = 7
4k = 12
k = 3

Alltså, väljer man a³ tre gånger och således -3/a två gånger så får man (a³)³*(-3/a)² = 9*a⁹/a² = 9a⁷. Sedan måste man även ta med C(5,3) alternativt C(5,2) för att få den riktiga koefficienten för a⁷.

(n+k-1 över k) = (n+k-1)!/k!(n+k-1-k)! = (n+k-1)!/k!(n-1)!

(n+k-1 över n-1) = (n+k-1)!/k!(n-1)!

(n+k-1)!/k!(n-1)! = (n+k-1)!/k!(n-1)! vilket skulle visa.

Är lite osäker på om det är rätt metod. Stämmer det? Dessutom, vad menas egentligen med "antalet möjliga kombinationer med repetition och utan hänsyn till ordning? Något exempel?