Citat:
Ursprungligen postat av
oggman
f(x) = integral från 0 till x , ln(1+e^t)dt
Maclaurinutveckla till ordning 2 med restterm på Lagranges form.
Jag börjar med att skriva:
ln(1+e^t) = ln(2) + ln((1/2)+(e^t)/2)
Därefter använder jag först standardutvecklingen för e^t sedan för ln(1+(det som blir)). Det är egentligen här jag är osäker på själva resttermen. Hur skriver jag korrekt för att få rätt restterm i slutändan då då det används två standardutvecklingar och sedan integreras?
Svar: x*ln(2) + (1/4)(x^2) + (1/6)((e^(theta*x))(x^3)/(1+e^(theta*x)^2
Tack!
Känns väl egentligen lättast att bara derivera det
f'(x) = ln(1 + e^x)
f''(x) = e^x/(1 + e^x) = 1/(1 + e^(-x))
f'''(x) = e^(-x)/(1 + e^(-x))² = e^x /(1 + e^x)²
Du har att f(0) = 0, f'(0) = ln(2), f''(0) = 1/2, sen är det bara att stoppa in det i formeln för taylor utvecklingar.
