2011-02-18, 16:37
#7237
2011-02-18, 17:03
#7238
__________________
Senast redigerad av dbshw 2011-02-18 kl. 17:06.
Senast redigerad av dbshw 2011-02-18 kl. 17:06.
2011-02-18, 17:34
#7239
Några frågor till 
saknar facit på samtliga
1. Define f(z) = (1/z)sin z for z=/=0, f(z) = 1 for z=0.
a) Explain why f(z) is analytic at the origin.
b) Find D^3 f(0) and D^4 f(0).
a) Ingen aning, för att den har en Taylorutveckling runt z=0?
b) Tja, inga problem att derivera Taylorutvecklingen term för term, men det verkar lite brutalt att man ska se att ex tredjederivatan är http://www.wolframalpha.com/input/?i=d3/dx3+(1/x)sin+x
2. Assume that f(z) is analytic at the origin and that f(0)=f'(0)=0. Prove that f(z) can be written in the form f(z)=z^2 g(z), where g(z) is analytic at z=0.
Om f är analytisk i origo kan den Taylorutvecklas där s.a f(z) ={sum} a_k z^k. Begynnelsevillkoren ger att a_0 och a_1 s.a f(z) = {sum 2,inf} a_k z^k. g(z) kan väl konstrueras genom att sätta g(z) = (1/z^2)f(z) = {sum 2,inf} a_k z^(k-2), som är analytisk. Rimligt?
3. Let g be continuous on the real interval [0,1] and define H(z) = ∫{0,1} g(t)dt/(1-zt^2), |z|<1. Prove that H is analytic in the open disk.
Här har jag bara kopierat från en liknande uppgift där man skulle visa att en funktion är "entire" (dvs analytisk på hela C). Utförandet verkar vara att man hittar en Taylorutveckling för (1-zt^2)^(-1), dvs {sum 0,inf} (zt^2)^k s.a. H(z) = {sum 0,inf} [∫{0,1} t^(2k) g(t) dt] z^k. Vet dock inte hur jag ska göra för slutklämmen. Integraluttrycket är en konstant beroende av k så att man egentligen får uttrycket {sum 0,inf} a_k z^k där a_k är integraluttrycket. Om |z|<1 så konvergerar serien. Gör det funktionen analytisk, eller?
saknar facit på samtliga1. Define f(z) = (1/z)sin z for z=/=0, f(z) = 1 for z=0.
a) Explain why f(z) is analytic at the origin.
b) Find D^3 f(0) and D^4 f(0).
a) Ingen aning, för att den har en Taylorutveckling runt z=0?
b) Tja, inga problem att derivera Taylorutvecklingen term för term, men det verkar lite brutalt att man ska se att ex tredjederivatan är http://www.wolframalpha.com/input/?i=d3/dx3+(1/x)sin+x
2. Assume that f(z) is analytic at the origin and that f(0)=f'(0)=0. Prove that f(z) can be written in the form f(z)=z^2 g(z), where g(z) is analytic at z=0.
Om f är analytisk i origo kan den Taylorutvecklas där s.a f(z) ={sum} a_k z^k. Begynnelsevillkoren ger att a_0 och a_1 s.a f(z) = {sum 2,inf} a_k z^k. g(z) kan väl konstrueras genom att sätta g(z) = (1/z^2)f(z) = {sum 2,inf} a_k z^(k-2), som är analytisk. Rimligt?
3. Let g be continuous on the real interval [0,1] and define H(z) = ∫{0,1} g(t)dt/(1-zt^2), |z|<1. Prove that H is analytic in the open disk.
Här har jag bara kopierat från en liknande uppgift där man skulle visa att en funktion är "entire" (dvs analytisk på hela C). Utförandet verkar vara att man hittar en Taylorutveckling för (1-zt^2)^(-1), dvs {sum 0,inf} (zt^2)^k s.a. H(z) = {sum 0,inf} [∫{0,1} t^(2k) g(t) dt] z^k. Vet dock inte hur jag ska göra för slutklämmen. Integraluttrycket är en konstant beroende av k så att man egentligen får uttrycket {sum 0,inf} a_k z^k där a_k är integraluttrycket. Om |z|<1 så konvergerar serien. Gör det funktionen analytisk, eller?
2011-02-18, 18:23
#7242
__________________
Senast redigerad av dbshw 2011-02-18 kl. 18:25.
Senast redigerad av dbshw 2011-02-18 kl. 18:25.
2011-02-18, 18:32
#7243
Citat:
Ursprungligen postat av spudwish
Några frågor till saknar facit på samtliga
1. Define f(z) = (1/z)sin z for z=/=0, f(z) = 1 for z=0.
a) Explain why f(z) is analytic at the origin.
b) Find D^3 f(0) and D^4 f(0).
a) Ingen aning, för att den har en Taylorutveckling runt z=0?
saknar facit på samtliga1. Define f(z) = (1/z)sin z for z=/=0, f(z) = 1 for z=0.
a) Explain why f(z) is analytic at the origin.
b) Find D^3 f(0) and D^4 f(0).
a) Ingen aning, för att den har en Taylorutveckling runt z=0?
T.ex. ja.
Citat:
Ursprungligen postat av spudwish
b) Tja, inga problem att derivera Taylorutvecklingen term för term, men det verkar lite brutalt att man ska se att ex tredjederivatan är http://www.wolframalpha.com/input/?i=d3/dx3+(1/x)sin+x
De frågar bara efter tredje- och fjärdederivatan vid origo. Dessa kan du läsa ut direkt ur Taylorutvecklingen runt z=0.
Citat:
Ursprungligen postat av spudwish
2. Assume that f(z) is analytic at the origin and that f(0)=f'(0)=0. Prove that f(z) can be written in the form f(z)=z^2 g(z), where g(z) is analytic at z=0.
Om f är analytisk i origo kan den Taylorutvecklas där s.a f(z) ={sum} a_k z^k. Begynnelsevillkoren ger att a_0 och a_1 s.a f(z) = {sum 2,inf} a_k z^k. g(z) kan väl konstrueras genom att sätta g(z) = (1/z^2)f(z) = {sum 2,inf} a_k z^(k-2), som är analytisk. Rimligt?
Om f är analytisk i origo kan den Taylorutvecklas där s.a f(z) ={sum} a_k z^k. Begynnelsevillkoren ger att a_0 och a_1 s.a f(z) = {sum 2,inf} a_k z^k. g(z) kan väl konstrueras genom att sätta g(z) = (1/z^2)f(z) = {sum 2,inf} a_k z^(k-2), som är analytisk. Rimligt?
Yes.
Citat:
Ursprungligen postat av spudwish
3. Let g be continuous on the real interval [0,1] and define H(z) = ∫{0,1} g(t)dt/(1-zt^2), |z|<1. Prove that H is analytic in the open disk.
Här har jag bara kopierat från en liknande uppgift där man skulle visa att en funktion är "entire" (dvs analytisk på hela C). Utförandet verkar vara att man hittar en Taylorutveckling för (1-zt^2)^(-1), dvs {sum 0,inf} (zt^2)^k s.a. H(z) = {sum 0,inf} [∫{0,1} t^(2k) g(t) dt] z^k. Vet dock inte hur jag ska göra för slutklämmen. Integraluttrycket är en konstant beroende av k så att man egentligen får uttrycket {sum 0,inf} a_k z^k där a_k är integraluttrycket. Om |z|<1 så konvergerar serien. Gör det funktionen analytisk, eller?
Här har jag bara kopierat från en liknande uppgift där man skulle visa att en funktion är "entire" (dvs analytisk på hela C). Utförandet verkar vara att man hittar en Taylorutveckling för (1-zt^2)^(-1), dvs {sum 0,inf} (zt^2)^k s.a. H(z) = {sum 0,inf} [∫{0,1} t^(2k) g(t) dt] z^k. Vet dock inte hur jag ska göra för slutklämmen. Integraluttrycket är en konstant beroende av k så att man egentligen får uttrycket {sum 0,inf} a_k z^k där a_k är integraluttrycket. Om |z|<1 så konvergerar serien. Gör det funktionen analytisk, eller?
Ja, funktionen är analytisk om den har en Taylorutvecklar som konvergerar mot rätt värde i en omgivning av en punkt. Så om du har visat att så är fallet s åär du klar. Var dock försiktig, det känns som att nånstans i ditt argument behöver du byta plats på summan och integralen och det är inte alltid man får göra det.
2011-02-18, 19:47
#7245
2011-02-18, 20:46
#7246
Men för helvete, vad är nu detta...
Koefficienten i Laurent-serier: a_j = 1/(2pi*i) ∫ f(z)dz/(z-z_0)^(j+1), j heltal (1). "Notice that if f is analytic throughout the disk |z-z_0|<R, the coefficients in (1) with negative subscripts are zero by Cauchy's theorem...
Det finns ingen sådan sats? Det närmaste jag hittar är att ∫(z-z_0)^n dz = 2pi*i om n=-1 och 0 annars.
ååååå
Koefficienten i Laurent-serier: a_j = 1/(2pi*i) ∫ f(z)dz/(z-z_0)^(j+1), j heltal (1). "Notice that if f is analytic throughout the disk |z-z_0|<R, the coefficients in (1) with negative subscripts are zero by Cauchy's theorem...
Det finns ingen sådan sats? Det närmaste jag hittar är att ∫(z-z_0)^n dz = 2pi*i om n=-1 och 0 annars.
ååååå
Skapa ett konto eller logga in för att kommentera
Du måste vara medlem för att kunna kommentera
