Citat:
Ursprungligen postat av
kreativtnamn123
Hur många siffror är det i 200^2010? Hur räknar man ut det? Hade talet haft basen 100 hade jag räknat ut det men nu vet jag inte riktigt vad jag ska göra.
Det är en rätt bra tanke du har, att du med basen 100 hade kunnat komma fram till enkelt. Rimligtvis kan du väl säga samma sak om basen 10?
Så.. vad är det i så fall som avgör antalet siffror, om du har bas 10? Om du har 10^2 så vet du att det är 3 siffror. Om det är 10^3 så vet du att det är 4 siffror. Det är alltså exponenten på bas 10 som är viktig! Exponenten kan dessutom skrivas om som en logaritm. Om vi använder oss av 10-logaritmen, lg, så har vi att
lg(10^2) = 2
lg(10^3) = 3
Vi har därför att antalet siffror, låt oss kalla det a, i ett tal x är (om talet skrivs i bas 10)
a = lg(x)+1
Detta är dock inte hela sanningen, eftersom x = 5 innebär a = 1 (endast en siffra). Men
lg(x) = lg(5) ≈ 0.7
Så att
a = 0.7 + 1 = 1.7
Men vi kan ju inte ha 0.7 av en siffra. Så egentligen ska logaritmen avrundas nedåt, alltså så att man klipper bort decimalerna. Jag kommer betecka detta med [..]. Till exempel är [1.3] = 1, [7.867] = 7 och så vidare. Med denna notationen kan vi då skriva
a = [lg(x)] + 1
Nu åter till ditt specifika fall! Du har att x = 200^2010. Vi börjar med att skriva om detta som
x = 200^2010
= (2·10·10)^2010
= (2·10²)^2010
= 2^2010 · (10²)^2010
= 2^2010 · 10^(2·2010)
Det blir nu mycket enklare att ta 10-logaritmen på detta!
lg(x) = lg(2^2010 · 10^(2·2010))
= lg( 2^2010 ) + lg( 10^(2·2010)) )
= 2010·lg(2) + (2·2010)·lg(10)
= 2010·lg(2) + 2·2010
= 2010·(lg(2) + 2)
Nu behöver vi endast knappa in lg(2) på miniräknaren:
lg(2) ≈ 0.30103
Vilket ger oss
lg(x) ≈ 2010·(0.30103 + 2) = 4625.0703
Med avrundningen får vi
[lg(x)] = 4625
och alltså
a = [lg(x)] + 1 = 4626
Om du istället hade velat veta antalet siffror i bas-"b" hade du fått byta ut lg mot log_"b". Till exempel, i bas 2: lg → log_2.
