*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Hur blir ((x+h)*g(x+h)-x*g(x))/h= x*(g(x+h)-g(x))/h *g(x+h)?

En bok trycktes i 8000 exemplar. Det första året såldes 680 exemplar. Man räknar med att försäljningen därefter kommer minska med 8 % varje år. Hur många exemplar kommer finnas kvar år 2020?

Skulle behöva lite hjälp med följande uppgift: Låt C beteckna den del av enhetscirkeln som ligger i första kvadranten. Bestäm det reella talet alpha > 0 så att arean av den rotationsyta som bildas då C roterar ett varv kring linjen y= -alpha blir 4pi areaenheter.

Har ingen aning om hur man kan lösa den då jag inte gjort sån här uppgift tidigare. Försökte rita upp det men vet inte vad y = -alpha ska ligga. Skulle gissa att man använder skivmetoden där radien blir y+alpha och sen integrerar man pi*[(y+alpha)^2] från två värden(vet inte vilka), då skivmetoden används när man har parallelt mex x-axeln vilket vi har i detta fall. Men vet inte riktigt hur man kan lösa den.

En bok trycktes i 8000 exemplar år 2007. Det första året såldes 680 exemplar. Man räknar med att försäljningen därefter kommer minska med 8 % varje år. Hur många exemplar kommer finnas kvar år 2020?


Skrev fel innan

Givet två x, y ∈ X, så låt a och b vara så att d(x, A) = d(x, a) och d(y, A) = d(y, b) (dessa finns eftersom A är kompakt). Eftersom d(x, b) ≤ d(x, y) + d(y, b) ⇒ d(x, b) - d(y, b) ≤ d(x, y) så får man att

f(x) - f(y) = d(x, a) - d(y, b) ≤ d(x, b) - d(y, b) ≤ d(x, y)

Med samma argument får man att

f(y) - f(x) ≤ d(x, y)

vilket leder till att f är Lipschitz, alltså är den kontinuerlig.

Ja, en funktion som har en språngdiskontinuitet i en punkt men annars är kontinuerlig, blir kontinuerlig om du utesluter punkten från definitionsmängden. Stegfunktionen definierad på ℝ\{0} är exempelvis kontinuerlig. Ett annat exempel är 1/x. I sådana fall förlorar man dock vissa trevliga egenskaper som kontinuerliga funktioner har när de är definierade på ett intervall, exempelvis så gäller inte satsen om mellanliggande värde över intervall där man tagit bort punkter ur definitionsmängden.

Det vanligaste sättet att definiera kontinuitet i en punkt rigoröst är genom Weierstrass ε,δ-definition. En funktion är kontinuerlig om den är kontinuerlig i varje punkt i dess definitionsmängd.

Med viss risk för missförstånd är svaret på din sista fråga jakande. En funktion som är kontinuerlig i alla punkter sånär som i ett (oändligt) antal punkter x₁, x₂, ... blir kontinuerlig om du utesluter dessa punkter ur definitionsmängden. Ett intressantare exempel är dock popcorn-funktion som är diskontinuerlig nästan överallt men ändå är kontinuerlig i varje irrationell punkt.

Om vi begränsar popcornfunktionen till Q\R bör vi alltså få en kontinuerlig funktion på en fullständigt osammanhängande men tät mängd.

Hej alla ni som sitter här!

(Kanske lite OT, men alla som förstår min fråga befinner sig i den här tråden)

Jag har funderat över det här, men inte kommit fram till något bra svar. Jag har alltid varit högpresterande i skolan och fått högsta betyg. Men ibland känner jag att grundkunskapen i matematik saknas. Jag kan t.ex. ha svårt med simpla tal och definitioner.

Mitt mål är att antigen läsa vid LTH eller Chalmers, program där matematik ligger i fokus. Min fråga återstår, hur blir man ruggigt bra på matematik? Det kan inte handla om råplugg för då skulle somliga vara proffesorer vid KTH redan nu.

Hur ska jag tänka när jag löser -pi/2 < x^2/2 + x < pi/2 ? Alltså skulle bestämma definitionsmängde och skapade det där intervallet. Man kan dela upp i två, men hur löser jag de enskilda? Får jag multiplicera upp osv och lösa som en vanlig ekvation?

Dessvärre verkar det som att riktigt så kul blir det inte i det här fallet. Popcornfunktionen är ju diskontinuerlig i alla rationella punkter och den verkar förbli så när man plockar bort alla irrationella punkter (rationell punkt med godtyckligt stor nämnare godtyckligt nära varje rationell punkt x = p/q).

Däremot kan man begränsa varje kontinuerlig funktion definierad på de reella talen till de rationella talen och på så vis erhålla en funktion som är kontinuerlig på en fullständigt osammanhängande (och tät) mängd.

EDIT: Nu insåg jag att vad som avsågs var att man begränsar funktionen till de irrationella talen R\Q. Då blir det såklart som du skriver.

I mångt och mycket fungerar det likartat oavsett om man har likhetstecken eller olikhetstecken, men det finns undantag. Om du exempelvis har

-x > a

så blir ju det ekvivalent med

x < -a

dvs om du multiplicerar eller dividerar med ett negativt tal (här -1) så måste du vända på olikhetstecknet vilket du inte behöver om du har ett likhetstecken.

I ditt specifika fall så får du som sagt dela upp olikheten i två olikheter, och x²/2 + x > -pi/2 kommer att ha en lösning som består i två olika intervall, x > a1 respektive x < a2, medan x²/2 + x < pi/2 kommer att ha en lösning som består i ett intervall, a3 < x < a4, eftersom andragradspolynomet har en positiv koefficient för x² (vilket innebär att polynomet kommer att gå mot ∞ då x går mot ±∞).

Utöver att nöta uppgifter (vilket du kommer att behöva göra för att klara kurser i matematik på högskolenivå) så är det väl främst en fråga om att fundera kring varför vissa metoder fungerar i vissa fall men inte i andra och att så ofta du hinner försöka härleda de samband som ingår i kurserna du läser. Om du kan härleda fram samband så minskar behovet av att memorera saker och det tenderar också att göra studerandet roligare i allmänhet. Man kan ju också fundera på möjliga tillämpningsområden för olika resultat inom matematik så att det inte bara blir ett rent abstrakt "språk" utan något som man har användning för i angränsande ämnen.