*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Löste mitt förra problem men har problem med en ny uppgift. Problemet är i slutet men lägger upp hela uppgiften för förståelsens skull, det jag inte förstår är hur de får fram normalvektorerna i slutet (fetstilat).

Bestäm alla plan som tangerar ytan z = 2 + x^2 + y^2 och som innehåller punkterna
(0, 0, 1) och (1, 1, 3)

Sätt F(x, y, z) = x^2 + y^2 − z + 2 . ∇F(x, y, z) = (2x, 2y, −1) .
Tangentplanet i en punkt (a, b, c) på ytan innehåller punkterna (0, 0, 1) och (1, 1, 3) precis då a^2 + b^2− c + 2 = 0 och ∇F(a, b, c) är ortogonal mot ( a − 0, b − 0, c − 1) och (1 − 0, 1 − 0, 3 − 1) dvs då a^2 + b^2 = c−2, 2a^2 + 2b^2= c−1 och 2a+ 2b = 2.
Vi får c = 3 och a^2+b^2= 1, a+b = 1
och detta ger punkterna (a, b, c) = (0, 1, 3) samt (a, b, c) = (1, 0, 3) med tillhörande
normalvektorer (0, 2, −1) respektive (2, 0, −1) . Vi får alltså två plan och deras ekvationer
är:
Svar: 2y − z = −1, 2x − z = −1

Måste ha glömt hur man gjorde detta, borde ha klarat den här kursen för flera år sen...

Gradienten, ∇F är ju normal mot nivåytan. Om vi har tangeringspunkterna (0, 1, 3) och (2, 0, -1) fås normalvektorerna till respektive tangentplan genom insättning i gradienten.

∇F(0, 1, 3) = (2·0, 2·1, -1) = (0, 2, -1)
∇F(1, 0, 3) = (2·1, 2·0, -1) = (2, 0, -1)

Har ingenting med binomialsatsen att göra, utan det är en geometrisk och aritmetisk summa.

Σ_{0, n} (2/3·(1/3)^k + k) = 2/3 Σ_{0, n} (1/3)^k + Σ_{0, n} k

En allmän geometrisk summa på formen Σ_{0, n} r^k = (1 - r^(n + 1))/(1 - r), säg till om du vill ha hjälp med härledning. Vidare, för vår aritmetiska summa:

Σ_{0, n} k = 1 + 2 + 3 +... + (n - 1) + n, vi har alltså en aritmetisk summa med differensen 1 mellan varje term och antalet termer är n - 0 + 1 = n + 1. Allmänt för en aritmetisk summa:

Σ (Aritmetisk) = 1/2·(Första termen + Sista termen)·(Antalet termer)

Detta ger oss: Σ_{0, n} k = 1/2·(0 + n)·(n + 1) = n·(n + 1)/2

Den geometriska summan ger oss 2/3 Σ_{0, n} (1/3)^k = 2/3·(1 - (1/3)^(n + 1))/(1 - 1/3)

Totalt har vi att Σ_{0, n} (2/3·(1/3)^k + k) = 2/3·(1 - (1/3)^(n + 1))/(1 - 1/3) + n·(n + 1)/2

Lite förenkling ger oss att Σ_{0, n} (2/3·(1/3)^k + k) = 1 - (1/3)^(n + 1) + n·(n + 1)/2. Tror inte att ekvationen 1 - (1/3)^(n + 1) + n·(n + 1)/2 = 7 - 1/81 kan lösas analytiskt, så det är nog prövning (n = 0, 1, 2, ...) eller grafisk lösning som gäller.

Vad menar du med att det inte har något men binomialsatsen att göra? Det är ju binomialsatsen som används vid geometrisk och aritmetisk summa - precis som du visat?!

Jobbar med ekvationer i allmän form, inte riktigt fått kläm på det än.

Jag ska bestämma K och M i denna ekvation

6x - 2y = -36

Jag tar -6x för att kunna strycka 6x och iställer skriva
2y = -36 - 6x

sen delar jag allt på 2 (antalet y) vilket då blir y = -18 -3x

Alltså så är
m = -18
x = -3x

mitt problem är nu att i facit står det

m = 18
k = 3

Inga minustecken med andra ord, jag vill veta när jag ska sätta minus eller pluss, har riktigt svårt för sånt ibland.
Räknar ut grafer om det inte framgick

Tack på hörhand

/Milleniumgren

Kolla det fetmarkerade, stämmer det verkligen?

Hmm borde det väll göra då -36/2 = -18 och -6/2 = -3 eller tänker jag inte tillräckligt långt?

Hmm borde det väll göra då -36/2 = -18 och -6/2 = -3 eller tänker jag inte tillräckligt långt?

Behöver hjälp med hur jag ska hitta partikulärlösningen till denna

Y'-Y=cos3x

Svar:Yp=0,3sin3x-0,1cos3x

Ett annat alternativ är att använda integrerande faktor, hojta till om du vill se den metoden.