*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Har en uppgift att hitta och beräkna integralen för: sqrt(x)/(1+sqrt(x)) dx
Gränserna är 0 och 4.

Har försökt med att substituera sqrt(x) med u och lösa den så men får det inte att bli rätt.

Låt u = sqrt(x). Vi har

du = (1/2)(1/sqrt(x)) dx och får efter variabelbytet

∫sqrt(x)/(1+sqrt(x))dx = 2∫(u^2)/(u+1)du

Partialbråksuppdela integranden och sedan borde det inte vara några konstigheter!

(u^2)/(u+1) = u + 1/(u+1) - 1

sqrt(x)/(1+sqrt(x)) dx = { u = sqrt(x), x = u^2, dx = 2u du }
= u/(1+u) * 2u du = 2 u^2/(1+u) du = 2 ((u^2-1) + 1)/(1+u) du
= 2 ((u-1) + 1/(1+u)) du = 2 (u-1) du + 2 * 1/(1+u) du

Detta borde du kunna antiderivera. Sedan skall du återsubstituera och sätta in gränserna.

Nyttjad formel: ∫ F(u) v = ∫ u F(v) med u = M(·)F(f_1) och v = g_1.


Har du skrivit av fel någonstans, t.ex. i definitionen av M?


Japp, samma formel igen: ∫ u F(v) = ∫ F(u) v med u = m*F(f_1f_2) och v = g_1g_2.


Hur definieras ||.||_{M_p{ℝ^{n+m}}} ?


Dualitet ger att (varför?):
||(F(M(·)F(f_1))||_{L^P} = sup_{||g_1||_{L^p'} ≤ 1} |∫_{ℝ^n}(F(M(·)F(f_1))g_1dx|

Vidare, hur definieras normen för L^∞? Och varför gäller det att

||M||_{L^∞} ≤ ||M||_{M_p} ?[/quote]

Oj, det hade jag tydligen! Det ska vara:

M(ξ) = ∫_{ℝ^m} m(ξ,η)F(f_1)(η)F(g_1)(η)dη


Låt
T_m = F^{-1}(F(f)m))

Då definieras M_p-normen som

||m||_{M_p} = ||T_m||_{L^p -> L^p}

Tack för svaret! Nu slog det mig att jag skrivit F hela tiden, när det i själva verket ska vara inversen på ett par ställen:

|∫_{ℝ^n} F^{-1}(M(·)F(f_1))g_1dx| = |∫_{ℝ^n}M(ξ)F(f_1)(ξ)F(g_1)(ξ)dξ| Parseval?
= |∫∫_{ℝ^{n+m}} m(ξ,η)F(f_1f_2)(ξ,η)F(g_1g_2)(ξ,η)dξdη|
= |∫∫_{ℝ^{n+m}} F^{-1}(m*F(f_1f_2))g_1g_2dξdη|

och

||(F^{-1}(M(·)F(f_1))||_{L^P} = sup_{||g_1||_{L^p'} ≤ 1} |∫_{ℝ^n} F^{-1}(M(·)F(f_1))g_1dx|

Tack till er båda. Lyckades lösa den nu

Fortfarande fel någonstans? Hur kommer f_2 och g_2 in i integralen?


Måste in f komma in någonstans i beteckningen T_m, t.ex. som T_m(f)?

Nä men jösses, jag skrev fel igen Det ska vara:

M(ξ) = ∫_{ℝ^m} m(ξ,η)F(f_2)(η)F(g_2)(η)dη

Ber om ursäkt för min förvirring. Som du säger ska det vara det alltså vara T_m(f), var lite slarvig när jag skrev det bara.

"Med tanke på att medeldjupet i oceanerna är 3790 m och att volymerna för havsresevoaren respektive snö/is-reservoaren är 1.338 x 109 m3 och 0.024 x 109 m3, beräkna hur stor den maximala havsytestegringen skulle bli om hela is/snö-reservoaren skulle smälta."

Hur räknar jag ut detta?

Undersök och ange vilket av följande tal är störst?

lg1000

e

pi

lne^3

roten ur 8

lg1000 är 10-logaritmen av 1000, dvs det tal som tio upphöjt till blir 1000, dvs 3. e är mindre än 3 och pi är större än 3. En logaritmlag ger att lne^3 = 3lne, och lne är det tal som e upphöjt till blir e, dvs 1. Så lne^3 = 3*1 = 3. Roten ur 8 är slutligen mindre än roten ur 9, som är 3.

Svaret blir alltså att pi är störst, ty det är det enda av dem som är större än 3.

Det saknas lite information i uppgiften:
1) Vad har oceanerna för bredd och längd?
2) Vad har snön för densitet (den varierar beroende på snötyp?
3) Det är lite oklart vad du menar med volymerna, menar du att det finns 145.842 m3 snö respektive 2.616 m3 snö, eller är det tänkt att det ska vara 1.338*10^9 m3 respektive 2.4 * 10^7 m3 snö?