*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Det finns flera olika sätt. Men ett vanligt sätt är följande:

8^(2x) = 32

Vi logaritmerar båda sidor

lg(8^(2x)) = lg(32)
2x*lg(8) = lg(32)
2x = lg(32)/lg(8)

En mycket elegantare sätt är att göra en omskrivning med hjälp av potenslagarna

8^(2x) = 32
(2^3)^(2x) = 32
2^(6x) = 32 (eftersom 2*3 = 6)
2^(6x) = 2^5

Då måste 6x = 5, och den ekvationen kan vi lösa.

int(x^3*ln(x)) dx = (x^4/4)ln(x) - int((x^4/4)(1/x)
Vi tittar ju på vår integrand, som är en produkt av två funktioner. Partiell integration innebär alltså att vi väljer en av dessa funktioner och hittar en valfri primitiv funktion till den. Jag valde då x^3 och den valfria primitiva jag valde var x^4/4. Sedan multipliceras detta med den andra funktionen, alltså ln(x). Då skall vi sedan subtrahera integralen av den primitiva multiplicerat med derivatan av den andra funktionen som vi inte valde en primitiv på. Derivatan av ln(x) är ju 1/x.

Partiell integration kan alltså vara en metod för att göra om en svårare integral till en funktion minus en annan lättare integral. Och när vi har löst integralen int((x^4/4)(1/x) då är uppgiften färdig.

Lycka till!

Partiell integration:
∫ u'(x) v(x) dx = u(x) v(x) - ∫ u(x) v'(x) dx

1. Tag u'(x) = x³, v(x) = ln(x).
2. Tag u'(x) = 1/√x, v(x) = ln(x).

∫ arcsin(x) dx = ∫ 1 * arcsin(x) dx = x arcsin(x) - ∫ x * 1/√(1-x²) dx
= x arcsin(x) - ∫ x/√(1-x²) dx = { D √(1-x²) = -x/√(1-x²) }
= x arcsin(x) + √(1-x²) + C

Verkar som något blev fel ändå.
Först faktoriserade jag
(x+2)/(x+1)(x+2)(x+3)
=
1/(x+1)(x+3)

Partialbråksuppdelning.
A/(x+1) + B/(x+3)

Hanpåläggning ger.
B= -1/2
A= 1/2

Så man får 1/2(x+1)-1/2(x+3)
Integrerar och får 1/2 (ln(x+1) - ln (x+3))

Men fått kommentaren "I partialbråksuppdelningen har några nämnare försvunnit"

Sitter och funderar över en typ av analytisk fråga där jag inte riktigt har koll på ett bra sätt att resonera sig fram.

Olikheten (x+5)/(x-1) ≥ 0 har samma lösningar som olikheten

a) (x+5)(x-1) ≥ 0
b) (x+5)(x-1) ≠ 0
c) (x+5)(x-1) > 0
d) inget av (a)-(c)

och även

Olikheten (x+5)/(x-1) > 0 har samma lösningar som olikheten

a) (x+5)(x-1) ≥ 0
b) (x+5)(x-1) ≠ 0
c) (x+5)(x-1) > 0
d) inget av (a)-(c)

Min första tanke då jag såg dessa uppgifter var att i ett koordinatsystem gå från, låt säga -6 till +6 för att se hur respektive olikheter ter sig, men det känns inte rätt.

Jag förstår inte varför läraren har skrivit så. Fråga vilka nämnare han menar har försvunnit. Eller scanna in det du har lämnat in och visa det här. Kanske förstår jag då.

Beräkning enligt mig:
(x+2)/(x^3+6x^2+11x+6) = (x+2)/((x+1)(x+2)(x+3)) = 1/((x+1)(x+3)) = (1/2)/(x+1) - (1/2)/(x+3)
∫ (x+2)/(x^3+6x^2+11x+6) dx = ∫ (1/2)/(x+1) - (1/2)/(x+3) dx = (1/2) ln |x+1| - (1/2) ln |x+3|
= ln √(|x+1|/|x+3|)
Slutligen sätts gränser in (övre gräns R som sedan går i gräns). Resultatet blir ln √3 = (1/2) ln 3.

jag resonerar kring den första frågan nu:

tänk direkt på vilka de kritiska punkterna är, d.v.s teckenskifte för resp. faktor. x = -5 och x = 1 är kritiskt punkter (x får dessutom inte vara lika med 1)

jag tänker alltid från höger till vänster i såna här problem, alltså x = 1 ligger längre till höger på tallinjen än x = -5, och allting till höger om x = 1 är positivt.

allting mellan x = -5 och x = 1 ger olika tecken, alltså negativt.

allting till vänster om x = -5, lika tecken, alltså positivt.

Detta gäller även för a) (x+5)(x-1) ≥ 0

Den har dock lösningen x = 1. Denna lösning saknas hos (x+5)/(x-1) ≥ 0, vars vänsterlede är odefinierat i den punkten.

Det är korrekt, misstag av mig.

Slutsatsen är att ingen av olikheterna a) till c) har samma lösningsmängd som ursprungliga olikheten, i första frågan. I andra frågan såg jag nu att c) har samma lösningar.

Lös ekvationen:
(x+3)^2=100

Hur gör man?

Edit: har en till.

(2a+b)^2 - (2a-b)^2

Såhär gör jag

2a^2+b^2 - 2a^2+b^2

Det blir jättefel.

får ut 2b^2, men det ska bli 8ab.

Gjort allt på datorn så kopierat in mer eller mindre exakt som jag skrivit, hon kanske läst fel, verkar gå igenom uppgifterna lite snabbt, förstod inte min derivering på en annan uppgift. Ska förbi senare idag med en annan uppgift så får väl fråga om denna också :/

(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + 2ab + b^2

(2a+b)^2 = 4a^2 + 4ab + b^2

Du missar termen i mitten.