Citat:
Ursprungligen postat av
PeanutButterJelly
Visa att följande integral är konvergent: $$\int_{1}^{\infty}sin(\frac{1}{x^2})cos(x^2)dx$$ Tacksam för hjälp!
Då \(\sin(\tfrac{1}{x^2})<\tfrac{1}{x^2}\) för \(x>0\) (eftersom \(\sin(t)<t\) för \(t>0\)) har vi att
\begin{align*}
\bigg|
\int_1^\infty\!\sin(\tfrac{1}{x^2})\cos(x^2)\, \mathrm{d}{x}
\bigg|
&
\le\int_1^\infty\!\Big|\sin(\tfrac{1}{x^2})\cos(x^ 2)\Big|\, \mathrm{d}{x}
=\int_1^\infty\!\big|\sin(\tfrac{1}{x^2})\big|\big |\cos(x^2)\big|\, \mathrm{d}{x}
\\&
<\int_1^\infty\!\tfrac{1}{x^2}\cdot1\, \mathrm{d}{x}
=\lim_{n\to\infty}\int_1^n\!\tfrac{1}{x^2}\, \mathrm{d}{x}
=\lim_{n\to\infty}\bigl[-\tfrac{1}{x}\bigr]_1^n
=\lim_{n\to\infty}\bigl(-\tfrac{1}{n}+1\bigr)
\\&
=1<\infty.
\end{align*}
eller?
