Citat:
Ursprungligen postat av
melyhna
1. Scissors är strikt dominerad av både Rock och Paper, så det kommer aldrig spelas av Madison. I det reducerade spelet där Scissors är eliminerat så finns ingen Nashjämvikt i rena strategier; det är bara att stryka under alla bästa svar och se att det inte finns någon cell där båda spelar ett bästa svar. Återstår då bara en jämvikt i mixade strategier. Det är bara rationellt att slumpa strategier om man är indifferent mellan sina val. Det innebär att Alexis måste slumpa sina strategier så att
Madison är indifferent och vice versa. Om Alexis spelar Handbag med sannolikhet
p så är väntevärdet av Madisons nytta
1-p från att spela Rock och
p från att spela Paper. Madison måste vara indifferent, så dessa måste vara lika:
p =
1-p, vilket ger
p = 1/2. På samma sätt kan man få Madisons mixade strategi.
2. En Nashjämvikt är definierad som strategier där båda spelar ett bästa svar. För varje spelare, stryk under dennes bästa svar för motspelarens varje strategi (ex. om kolumnspelaren spelar W, så är radspelarens bästa svar E, om hen spelar X så är det bästa svaret B, och så vidare...). Den enda cellen där båda spelar ett bästa svar är (E,Z), så det är den enda Nashjämvikten i rena strategier.
3. Du behöver hitta
X så att högkvalitetsförsäljare erbjuder en försäkring medan lågkvalitetsförsäljare inte erbjuder någon försäkring. Detta
X måste vara så att det är (i) rationellt och (ii) incitamentkompatibelt för båda aktörer att inte avvika och agera annorlunda. (i) innebär att båda måste göra en positiv vinst per såld bil. (ii) innebär att högkvalitetsförsäljarna inte vill avvika och låtsas vara lågkvalitetsförsäljare och vice versa. Om bara högkvalitetsförsäljarna erbjuder försäkring så kan konsumenterna särskilja på biltyperna och vinsten per såld högkvalitetsbil blir då 100,000 - 0.2*X*20,000. Vinsten per såld lågkvalitetsbil är 50,000. Om lågkvalitetsförsäljare låtsas vara högkvalitetsförsäljare är deras vinst 100,000 - 0.5*X*20,000. Om högkvalitetsförsäljare låtsas vara lågkvalitetsförsäljare är deras vinst 50,000. (i) och (ii) ovan ger då fyra olikheter:
1. Individuell rationalitet låg kvalitet: 50,000 > 0
2. Incitamentkompatibilitet låg kvalitet: 50,000 > 100,000 - 0.5*X*20,000
3. Individuell rationalitet hög kvalitet: 100,000 - 0.2*X*20,000 > 0
4. Incitamentkompatibilitet hög kvalitet: 100,000 - 0.2*X*20,000 > 50,000
Notera att (1) alltid håller samt att om (4) håller så håller (3) per automatik, så du behöver bara ta i åtanke (2) och (4). Löser man för
X i (2) fås X > 5. Löser man för
X i (4) fås X < 12.5.
4. Nej du ska inte sätta nyttofunktionerna lika med varandra. Än en gång, en Nashjämvikt är strategier så att båda spelar bästa svar. För en given strategi
y så kommer Xings bästa svar vara det
x som optimerar dennes nyttofunktion. Så derivera Xings nyttofunktion med avseende på
x och sätt lika med noll: 3 - 2y - 4x = 0, vilket ger x = 0.75 - 0.5y. På samma sätt är Yukis bästa svar för givet
x det
y som optimerar Yukis nyttofunktion. Så derivera Yukis nyttofunktion med avseende på
y och sätt lika med noll: 1 + 2x - 4y = 0, vilket ger y = 0.25 + 0.5x. Båda dessa måste hålla för att det ska vara en Nashjämvikt, så du har ekvationssystemet
x = 0.75 - 0.5y,
y = 0.25 + 0.5x.
Löser du detta får du x = y = 1/2, dvs. alternativ (A) är korrekt.
5. Använd bakåtinduktion, dvs. börja med firma B och hitta dennes optimala kvantitet givet
a. Derivera B:s vinstfunktion och sätt lika med noll för att hitta optimum: 12 - a - 2b = 0, vilket ger b = 6 - 0.5a. Firma A vet om att B kommer agera på detta sätt, så de kan ta i åtanke den informationen när de sätter sin kvantitet. Dvs. vi kan stoppa in b = 6 - 0.5a i A:s vinstfunktion: (12-a-b)*a = (6 - 0.5a)*a. Derivera detta och sätt lika med noll så fås
a: 6 - a = 0, vilket ger a = 6. Från B:s bästasvarsfunktion får vi då b = 6 - 0.5*6 = 3. Så (a,b) = (6,3) och alternativ (A) är korrekt.
)))