Citat:
Om man inte tar hänsyn till universums expansion, minskar denna temperatur i samma takt som att universums längdskala ökar.
Inte direkt min mest lyckade formulering. Men så kan det gå när man editerar för mycket. Blir iaf rätt om man ändrar till
"Om man ENDAST tar hänsyn till universums expansion, minskar denna temperatur i samma takt som att universums längdskala ökar."
Så här räknar man på det jag skrev om. Studera en medföljande volym V (dvs en volym som växer i takt med universums expansion) under en kort tid dt. Volymen ändras då med
dV = 3 H dt
där H är Hubblekonstanten. I volymen ändras den inre energin (från fotonerna) med dU, värmen dQ tillförs från stjärnorna, och så förloras energin PdV i tryckarbete, dvs enligt
Termodynamikens första lag har vi
dU = dQ - P dV.
För en
fotongas gäller att
U = Ɛ V
P = Ɛ/3
där energitätheten Ɛ är energitätheten. Alltså har vi att
dU = V dƐ + Ɛ dV
och dU = dQ - P dV blir
V dƐ = dQ - (4/3) Ɛ dV
dvs
dƐ/Ɛ = dQ/(ƐV) - (4/3) dV/V.
Uppvärmingen från galaxerna ges av
dQ = ρV/Y dt
där ρ är
universums medeldensitet och Y är
universums mass-to-light ratio. Använder vi nu också bara Hubblerelationen för volymer, dV=3HV, får vi
dƐ/Ɛ = ( ρ/(YƐ) - 4H ) dt.
Denna är exakt lösbar OM ρ, Y och H är konstanta, men det är knappast fallet.
Hur ändras den absoluta temperaturen T? Nu fuskar vi lite och antar att den nya strålningen från galaxerna termaliseras. Detta är helt enkelt inte fallet, för i så fall skulle universum se ut som det var dimma och det skulle vara omöjligt att se avlägsna galaxer. Men vi har alltså iaf hittills ett uttryck för energitätheten Ɛ som har med fotoner både från från den kosmiska bakgrundsstrålningen och så det nya bidraget från de lysande galaxerna. Låt oss räkna på T
SOM OM All ny fotonenergi termaliseras. För en sådan fotongas har vi (se länken ovan)
Ɛ = (4σ/c) T⁴
där σ är
Stefan-Boltzmanns konstant. Från detta följer också att
dƐ/Ɛ = 4 dT/T.
Låter vi också
Ṫ = dT/dt
får vi att
Ṫ/T = ρc/(16σYT⁴) - H
Den första termen är alltså Uppvärmingen pga galaxerna och den andra är avsvalningen pga expansionen. Tar man dessa var för sig och sätter den andra termen till noll, kan vi uppskatta hur snabbt dessa termer påverkar temperaturen
just nu, genom att helt enkelt sätta in värden på parametrarna. Just nu ökar T pga uppvärming med hastigheten
Ṫ_u = ρc/(16σYT³)
och den minskar pga expansionen med hastigheten
Ṫ_e = -H T
Om dessa hastigheter sätts till konstanter får vi att T ändras till 2T resp till till 0 på tiderna
t_u = T/Ṫ_u = 16σYT⁴/(ρc)
t_e = T/|Ṫ_e| = 1/H
Med värden insatta från länkarna (samt med T från
https://en.wikipedia.org/wiki/Cosmic_microwave_background) ger detta
t_u = 319 miljarder år
t_e = 14.4 miljarder år
dvs ändringen pga uppvärmning är mycket långsammare.