*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Den likheten stämmer inte ens.

Så här kan du göra:
(x,y)R(u,v) <=> y - v = x^2 - u^2 <=> v - y = u^2 - x^2 <=> (u,v)R(x,y)
Alltså är R symmetrisk.


Antag att (x,y)R(u,v) och (u,v)R(a,b), dvs att y - v = x^2 - u^2 och v - b = u^2 - a^2.

Då gäller:
y - b = (y - v) + (v - b) = (x^2 - u^2) + (u^2 - a^2) = x^2 - a^2,
dvs (x,y)R(a,b).

Alltså är R transitiv.

Skulle behöva hjälp med en uppgift från 2012's högskoleprov (XYZ delen), och det rör då uppgift 11 på följande länk: http://hogskoleprov.hsv.se/hp/2012/vt/#/xyz
Det var så pass länge sedan jag räknade en dylik uppgift, och jag har gått igenom matteboken frenetiskt i ett lönlöst försök att förstå mig på uppgiften. Hur ska den lösas?

ABD är såklart 32, 74 och 74 grader, men hur listar jag ut resten? Hur korrelerar längden på DC till övriga vinklar? D är såklart 106 grader, men därefter är jag helt tom på idéer...

Hjälp vore enormt uppskattat då mitt prov är i morgon och jag känner att jag måste kunna detta.

Tack.

Uppgift 5a flerdim

http://www.maths.lth.se/media/exams/flerdim/exam_2012-12-18.pdf

Jag får:
dQ/dx = - (1/2)ln(x^2+y^2) (notera minustecknet)
dP/dy = (1/2)ln(x^2+y^2)

I facit står det att dQ/dx = dP/dy för alla punkter förutom origo. Vad gör jag för fel?

Uppgiften säger ju att AB = BD = DC. Det betyder att triangeln BDC är likbent, vilket i sin tur betyder att vinklarna DBC och DCB är lika. Då du redan har räknat ut att vinkeln BDC är 106 grader, kan du nu få fram vad vinkeln DBC är? Därefter är det bara att addera vinklarna ABD och DBC för att få vinkeln ABC.

Fan vad trög jag är. Självklart skall det vara a = (p_1*p_2*p_3* ... *p_n) + 1 enligt aritmetikens fundamentalsats.

Tack till er båda!

Tack för svaret! Kände på mig att det skulle vara en riktig "d'oh!" lösning! Tänkte aldrig på att BDC såklart är likbent!

Aritmetikens fundamentalsats säger att alla heltal>1 kan skrivas som en unik produkt av primtalsfaktorer.

Här är ett lite mer direkt sätt att förstå beviset, tycker jag:
Låt q_n = p_1*p_2*...*p_n.
Betrakta (q_n+1) / p_j för något j ≤ n.
Vi kan skriva det som q_n/p_j + 1/p_j.
q_n/p_j = (p_1*...*p_j*...*p_n) / p_j, ett heltal.
1/p_j är icke heltal (eftersom p_j>1).
Summan av heltal och icke heltal är icke heltal.
Alltså finns det inget p_j som delar q_n+1.
(notera att argumentet även funkar för q_n-1, givet n≥2)

Eftersom inget p_j delar q_n+1 så måste vi ha antingen att q_n+1 är ett primtal eller att några p_k för k>n delar q_n+1.

Ännu ett matematiskt bevis som jag behöver lite hjälp med.

Sats: Visa att alla heltal >= 2 kan skrivas som en produkt av primtal. (Är detta aritmetiska fundamentalsatsen)?

Bevis: (Detta bevis har jag erhållit från en kursare, vilket gör mig lite skeptisk till ifall detta stämmer)

"Ansätt a = godtyckligt heltal

(1) Om a är ett primtal är vi klara.
(2) Om a inte är ett primtal kan a skrivas som produkten av 2 nya heltal, a = b*c. (*)
(3) Om b är primtal är vi klara.
(4) Om b inte är ett primtal kan b skrivas som b = d*e. (**)

Vi ser att talen blir mindre och mindre. Till slut kommer vi till de minsta primtalen."

Men enligt satsen kan alla heltal >= 2 skrivas som en produkt av primtal.
(*) Borde inte det vara att a kan skrivas som produkten av 2 nya primtal? I detta fall b,c primtal
(**) Även här, borde inte d,e vara primtal?

Inte nödvändigtvis. Om a = 2 * 3 * 5 = 30 så kan inte a skrivas som en produkt av två primtal.


Samma problem här som i föregående.


Nej, det är vi inte. Inget är sagt om c.


I och för sig korrekt tänkt av din kompis, men det är inget argument att ha i ett formellt korrekt bevis.

http://www.math.chalmers.se/Math/Grundutb/CTH/tma970/1213/TMA970tentajan13.pdf

Har tenta i morgon men har inte riktigt hajat det här med kovergenta/divergenta integraler. I 1a) samt b), hur ska man tänka för att se svaret snabbt?

1

a)

Notera att sqrt(x^4 + 1) i princip är sqrt(x^4). Notera därför:

sqrt(x^4) < sqrt(x^4+1)
<=> 1/sqrt(x^4+1) < 1/sqrt(x^4)

Nu är ln x > 0 om x > e^0 <=> x > 1. Dvs:

ln(x)/sqrt(x^4+1) < ln(x)/sqrt(x^4). Dela nu upp integralen :

[0 1] § ... + [1 oo] § ...

Vi har:
[1 oo] § ln(x)/sqrt(x^4+1) dx < [1 oo] § ln(x)/x^2 dx

Den senare kan du lätt visa är konvergent. Därför är [1 oo] § ln(x)/sqrt(x^4+1) dx mindre än den och därför konvergent. Kvar då är:

[0 1] § ln(x)/sqrt(x^4+1) dx att analysera. Kan du analysera den?

b)

[1 oo] § sin(1/sqrt x) dx

Kan börja med att byta x = y^2 då är dx = 2y dy vilket ger:

[1 oo] § sin(1/y) 2y dy
= 2 [1 oo] § y sin(1/y) dy

När y -> oo så blir sin(1/y) ~= 1/y vilket gör att för tillräckligt stora y är y sin(1/y) ~= 1. Därför summerar vi i princip till slut integraler av typen [a b] § 1 dy = (b-a) där b -> oo och a är ett tillräckligt stort tal. Därför divergerar den. Alternativt kan man tänka direkt att sin(1/sqrt x) ~= 1/sqrt x för tillräckligt stora x och då har vi problem att konvergera.

Okej, jag läste beviset i boken och försökte tyda detta. Någon som kan kolla om detta skulle räcka som ett faktiskt bevis?

Sats:
Visa att varje heltal som är större eller lika med 2 kan skrivas som en produkt av primtal.

Bevis:
Låt a vara ett heltal sådant att a >= 2.

(1) Vi är klara om a är ett primtal.

(2) Om a inte är ett primtal så låter vi b vara den minsta delaren till a, vilket medför att även b är ett primtal. (Skulle b inte vara ett primtal så skulle b ha en äkta delare, som i sin tur även skulle dela a.)
Detta kan vi skriva som a = bc där b är ett primtal och 1 < c < a.

(3) Vi är klara om c är ett primtal.

(4) Om c inte är ett primtal finns det ett primtal som delar c, osv.

(5) Med hjälp utav denna information kan vi skriva varje heltal a där a >= 2 på följande sätt:
a = q_1*q_2*...*q_n där q_1, q_2, ..., q_n primtal