Praktiska integrationsmetoder och bestämning av primitiva funktioner

I ett flertal trådar dyker det upp beräkningar av mer eller mindre kluriga integraler och primitiva funktioner. Ämnet är omfattande, och innehåller både teoretiska satser, väletablerade tekniker och diverse finurliga knep för att kunna bestämma primitiva funktioner. Faktiskt, med de matematiska satserna samt lite finurlighet kan man komma förvånansvärt långt.

Här ska för fullständighets skull samlas några inlägg från andra trådar, samt helt nya beräkningar. Tonvikten kommer att läggas på beräkningsteknik, inte på formella satser och teoretiska bevisföringar. På många ställen kommer konverteringsformler och långt ifrån uppenbara additionssatser att användas. Härledningar av sådana relationer förläggs till en egen tråd.

För mera ljuplodande teori hänvisas till den ypperliga boken
"Matematisk analys" av Carl Hylte´n Cavallius och Lennart Sandgren,
populärt kallad Hylta-Kalle . F.ö. min gamla väl lästa kursbok från anno 1981 (stenåldersvarning) . Exemplen är med få undantag från denna eminenta bok.

Så spänn fast säkerhetsbältena, nu kör vi

...att samla ihop material från tidigare trådar.
Börjar med http://www.flashback.org/showthread...241299&page=39

Citerar (ändrar några fonter med exponentbeteckning):

"Primitiva funktionen till cos x i kvadrat. Jag utgår från att du menar (cos x)², inte cos (x²).

1) Först trigonometritekniska beräkningar.
Ett bra knep är att börja med de Moivres formel: e^ix = cos x + i sin x
Använd potensereglerna för exponentialfunktionen: e^i(x+y) = (e^ix)*(e^iy)

Använd detta för att beräkna summan av 2 vinklar:
cos(x+y) + i sin(x+y) = e^i(x+y) = (e^ix)*(e^iy) = (cos x + i sin x)*(cos y + i sin y)

Identifiera real- och imaginärdelar, vilket ger:
cos(x+y) = cos x *cos y - sin x*sin y
sin(x+y) = cos x *sin y + sin x*cos y

Dessutom behöver vi trigonometriska ettan:
cos²x + sin²x = 1

Nu vårt specialfall. Om vi sätter y=x, så fås ur formeln för cos:
cos 2x = cos²x - sin²x

Trig ettan ger: cos 2x = cos²x - sin²x = 1 - 2 sin²x
Stöka om: sin²x = ½(1 - cos 2x)

Sätt in detta i ettan:
cos²x = 1 - sin²x = 1 - ½(1 - cos 2x) = ½(1 + cos 2x)

Mycket räknande hittills. Men nu blir primitiva funktionen desto lättare att finna!

2) Själva integralen: ∫cos²x dx = ½∫(1 + cos 2x) dx = ½[x + ½sin 2x]

Analogt: ∫sin²x dx = ½∫(1 - cos 2x) dx = ½[x - ½sin 2x]
"

Sammanfattning: För att bestämma primitiva funktionen till potenser av de enkla trigonometriska funktionerna övergår man till de enkla trigonometriska funktionerna för multipler av vinkeln. Omvandlingsformler för funktioner av multipla vinklar fås med de Moivres formel samt potensreglerna.

Primitiva funktionen till tan²x är dock knepigare.

Här ska jag använda ett knep som egentligen används för att beräkna riktigt jävliga primitiva funktioner, såsom ∫(1/cosx)dx. Jodå, den går faktiskt att beräkna!

Knepet är att införa en ny variabel. På föreläsningarna (25 år sedan ) sade läraren att "det går alltid med tangens halva vinkeln". Alltså en substitution t = tan (x/2). Med denna variabelsubstitution kan t.o.m. den läbbiga integralen ovan beräknas.

Här: sätt t=tan x, med inversen x=arctan t. Derivatan blir x´(t) = 1/(1+t²).
OBS! Kom ihåg definitionsområdet för x: substitutionen gäller i intervallet -π/2 < x < π/2 (π är "pi", lite otydligt typsnitt)

Använd formeln för variabelsubstitution i enkelintegraler:

∫f(x) dx = ∫f(x(t))*x´(t) dt

Då fås:
∫tan²x dx = ∫t²*1/(1+t²) dt.

Skriv om täljaren enligt t²=(1+t²)-1 ):
∫tan²x dx = ∫( (1+t²)*1/(1+t²) - 1/(1+t²) ) dt = ∫(1 - 1/(1+t²)) dt = [t-arctant].

Substituera tillbaka med t=tan x:

t-arctant = tanx - arctan(tanx) = tanx - x

Alltså: ∫tan²x dx = tanx - x

Tråden http://www.flashback.org/showthread.php?t=319959

Citerar:
" Va? Har jag missat en integral??
Eouuh, det var en rälig jävel.
Var i helsicke har du raggat upp den? Nå, jag kavlar upp ärmarna.

Inför beteckning (man är väl en slöfock)

(π/2)²
∫√x sin√x dx ≡ I , som ska beräknas
0

OBS! Bortse från prickarna; dessa måste användas ty mellanslag registreras inte! Hamnar de ändå snett, så ändra textstorleken, annars skyll på webläsaren.
Inför variabelsubstitutionen x = φ(t), φ är en bijektiv funktion för alla relevanta t, beteckna inversen till φ med h, dvs t = h(x).
Då gäller formeln för variabelsubstitution i enkelintegraler:

b.............h(b)
∫f(x)dx = ∫f(φ(t))φ´(t)dt
a.............h(a)

Sätt t = √x => x = t², och x´(t) = 2t. Här är alltså φ(t) = t², φ´(t) = 2t, och φ:s invers h(x) = √x.
Då fås (prickarna igen!):

b.....................√b.......................√b
∫√x sin√x dx = ∫(t sin t)*2t dt = 2∫(sin t)*t² dt
b.....................√a.......................√a

Hädanefter utesluter jag i integraler och primitiva funktioner integrationsgränserna. Detta görs för tydlighets skull, eftersom resultatet såg väldigt rörigt ut. För t gäller övre integrationsgräns t = √b, undre integrationsgräns t = √a.


Partialintegrera: sätt f = sin t , g = t², och F= -cost. Då ger formeln för partialintegrering:

∫(sin t)* t² dt = [(-cos t)*t²] - ∫(-cos t)* 2t dt = ∫(cos t)* 2t dt - [(cos t)*t²]


Upprepa partialintegrering i sista integralen, med f = cos t , g = 2t, F= sint:

∫(cost)*2t dt = [sint*2t] - ∫ sint*2 dt = [sint*2t] - [(-cost)*2] = [sint*2t]+2[cost]


Sätt in sista ledet i integralen på raden ovanför:

∫(sin t)* t² dt = ∫(cos t)* 2t dt - [(cos t)*t²] = [sint*2t]+2[cost] - [(cos t)*t²]


Gå sedan ännu en rad uppåt (andra likheten skippad) :

∫√x sin√x dx = 2∫(sin t)* t² dt = 2([sint*2t]+2[cost] - [(cos t)*t²])


Substituera nu tillbaka. Kom nu ihåg vad jag sade om integrationsgränserna!
För variabeln t gäller övre integrationsgräns t=√b samt undre integrationsgräns t=√b.
Detta ger för variabeln x gränserna x=a samt x=b, eftersom vi använt variabelsubstitutionen x=t².

Och nu skriver jag för tydlighets skull ut gränserna (med de jävla prickarna i släptåg!)

b..................................√b.........√b.. ..............√b......................b.......... ...b.......................b
∫√x sin√x dx = 2([sint*2t]+2[cost] - [(cos t)*t²]) = 2[2√x sin√x ]+4[cos√x] - 2[|x|(cos √x)]
a..................................√a..........√a. ..............√a......................a.......... ...a.......................a

Observera i den sista hakparentesen: jag har skrivit |x| istället för x. Detta ty t = √x, vilket medför att t² = (√x)² = |x|, vilket är lika med x enbart för positiva x !! Om detta är relevant beror ju på om gränserna a resp b är <0 eller ej. I vårt fall är gränserna ≥0, så det har ingen betydelse, varför vi kan skriva x istället för |x|.

För att slutligen få vårt sökta I (jag fick aldrig använt beteckningen...) sätter vi in värdena för a och b: a=0 samt b=(π/2)².

Men dem får du fanimej stoppa in själv. "

Tråden http://www.flashback.org/showthread.php?t=321165
Citerar:
"
Va?? Ännu en integral jag håller på att missa??
Eoouh, det var åsså en rälig fan.

Sätt:


Och den här gången tänker jag använda beteckningen! Gör nu en variabelsubstitution:


Det jag suktar efter är vår vackra formel för variabelsubstitution i enkelintegraler:


Här är x = φ(t) = e^t , φ´(t) = e^t och inversen är t = h(x) = ln|x|
Gränserna:h(1) = ln|1|=0 , h(e) = ln|e| = 1


Eftersom jag är så slö, blir det en ny variabelsubstitution:
t = ψ(u) = u/4 , ψ´(u) = ¼ och inversen (som jag kallar k) är u = k(t) = 4t.
Så gränserna: k(0) = 0, k(1) = 4 . Då är denna integral i sin tur:


Partialintegrera sista integralen. För den som är hemma på knasiga funktioner så känner man igen denna som en av de sista integralerna som uppträder när man partialintegrerar gammafunktionen upprepade gånger. Vilket jag inte tänker göra här.
Det får bli en senare uppgift i en annan tråd (när jag inte är pömmig).
Nu skriver jag exponenter på det klumpigare sättet, eftersom det annars hamnar fel hur man än gör.


Sätt f=e^u, g=u, så att F=e^u, och g´=1.
För tydlighets skull skrivs inte integrationsgränserna ut. Då följer:


Och så baklängesjobb; substituera tillbaka. Det är alltid lika roligt, eftersom det betyder att man lyckats beräkna integralen .
Beräkna gränserna. Vi har u = 4t = 4ln|x| => x = e^(u/4), x>0. Gränserna: u=4 => x=e , u=0 => x=1

Trots att resultatet ser grisigt ut, sätter jag (övertydligt) in gränserna i formeln. Ni kan säkert tyda det.



I sista ledet använder jag att e^ln|x| = |x| = x (i vårt fall är |x| = x då x>0). Dessutom den välkända regeln a^xy = (a^x)^y.

För att slutligen få I, sätt in gränserna, och dividera med 16.
"

Fortsätter citera.

"Anta allmän exponent. Samma förutsättningar som i förra inlägget.


Och så, med t = ψ(u) = u/(n+1) , ψ´(u) = 1/(n+1):


Nu är u = (n+1)t = (n+1)·ln|x| => x = e^(u/(n+1)), x>0. Med den sammansatta variabelsubstitutionen gäller x = φ(ψ(u)), invers u=k(h(x)).
Gränserna är: u=k(h(b)) <=> x=b ; u=k(h(a)) <=> x=a

Den primitiva funktionen till u·e^u är ju densamma som tidigare, så att vi får:

Och så kan jag väl kosta på mig att stoppa in gränserna:


Resultatet är ju inte så pjåkigt:

"

Tillägg: ibland vill man uttrycka formeln med n-1 istället för n. Då fås:

b
∫x^(n-1) lnx dx = (1/n²)[(|b|ⁿ)(n ln|b|-1)-(|a|ⁿ)(n ln|a|-1)]
a

Här formuleras i klartext 2 satser som är synnerligen användbara vid integralberäkningar.


1) Variabelsubstitution i enkelintegraler.

Variabelsubstitution x = φ(t), med invers t = h(x). Då gäller:



2) Partialintegrering

Integranden är på formen f(x)g(x). Beteckna primitiva funktionen till f(x) med F(x). Då gäller formeln för partialintegrering (gränser utelämnade):

Ibland kan integralen i högerledet i sin tur beräknas genom upprepning av förfarandet. Svårigheten kan vara att hitta något fungerande val av f och g.

Bevisen för dessa satser hittas i Hylta-Kalle.

Lysande FAQ-tråd! (Var först lite fundersam om du missat att lägga tråden i Invandringsforumet, innan jag läste den ... )

Funderade på om jag ska döpa om tråden. Men det gör ju inget, folk kan allt få tänka lite själva .

För ett antal år sedan såg jag i en bok om navigering i sjötrafik att integralen ∫(1/cosx)dx dök upp (loxodrom, sfärisk spiralkurva). Det påpekades att primitiva funktionen till 1/cosx inte kan uttryckas med elementära funktioner, utan man är tvungen att slå upp värden i en tabell.

Va?? Inte då; den kan visst beräknas! Och här kommer det.

För att beräkna dessa integraler måste man tillgripa några knep. Som föreläsaren sade om trigonometriska integrander, "det går alltid med tangens halva vinkeln", dvs en substitution t = tan(x/2). Problemet blir då att skriva om funktionen i termer av variabeln t.

1) Integralen ∫(1/sinx)dx

Först, skriv om de trigonometriska funktionerna uttryckt i halva vinkeln och i variabeln t:


Glöm inte att invertera dessa i integranderna!


Använd formeln för variabelsubstitution i enkelintegraler.
Sätt x = φ(t), med invers t = h(x).
Här är: x = φ(t) = 2 arctan t , φ´(t) = 2/(1+t²) och t = h(x) = tan(x/2)
Med f(x) = 1/sin x fås f(φ(t)) = (1+t²)/2t. Då blir integralen:


Kortare uttryckt: ∫1/sinx dx = ln|tan(x/2)| + C

Tadaa!!

2) Integralen ∫(1/cosx)dx

Samma förutsättningar som i förra inlägget. Skriv om cos x som en funktion av sin x mha cos(u+v) = cos u cos v - sin u sin v


Gör variabelbyte i integralen: u = π/2-x <=> x = φ(u) = π/2-u , φ´(u) = -1

Denna integral beräknades i förra inlägget. Då fås:


Utan att gå in på algebran kan det visas att tan(π/2-t) = cot t.
Detta ger -ln|tan(π/4-x/2)| = ln|cot(π/4-x/2)| = ln|tan(x/2+π/4)|


Alltså: ∫1/cosx dx = -ln|tan(x/2-π/4))| + C

Tadaa!!

Som ses av föregående inlägg börjar det bli dags att systematisera behovet av altt annat än självklara konversionsformler och additionssatser för trigonometriska funktioner. Dessutom en del mindre uppenbara egenskaper hos de elementära funktinerna. Tråd om detta kommer senare.

Och här är länken: http://www.flashback.org/showthread.php?t=324444