Sjuk INTEGRAL - hjälp sökes

Dack, jack får inte löst en extremt jobbig integral, ta en titt på min hemsida.

(Hjälp sökes)

Peace!


http://www.freewebs.com/derivata/skola.htm

Byt integrationsvariabel till y = sqrt(x). Du har då en integrand av typen y^2*sin(y) och genom att partialintegrera två gånger blir du av med y^2-faktorn.

med y = sqrt(x), blir inte integralen |2*t^2*sint dt?

Nej, men |2*y^2*sin y dy

Hmza, blir en aning förvirrad....

Man gör ett vaiabel byte

y = x^0.5 => dy/dx=d(x^(1/2))/dx <=> dy/dx= 1/(2*x^0.5) => dx=(2*x^0.5)dy

Nu sätter du in y för alla x^(1/2) och (2*x^0.5)dy för dx. Man måste även räkna ut de nya integralgränserna dvs y=x^0.5 för x=( 0 , pi^2/4 ).

Integralen blir nu
|2*y^2*sin y dy, vilken man kan räkna ut mha att partiellintegrera dvs |f’(x)*g(x)dx = [f(x) * g(x)] -| f(x)*g’(x) dx


mer info om variabelsubstitution

man kommer inte långt med smily-uttryck när man ska skriva matematiska formler. Men jag har sett forum med riktigt snygga matematiska tecken.

Eouuh, det var en rälig jävel.
Var i helsicke har du raggat upp den? Nå, jag kavlar upp ärmarna.

Inför beteckning (man är väl en slöfock)

(π/2)^2
∫√x sin√x dx ≡ I , som ska beräknas
0

OBS! Bortse från prickarna; dessa måste användas ty mellanslag registreras inte! Hamnar de ändå snett, så ändra textstorleken, annars skyll på webläsaren.
Inför variabelsubstitutionen x = φ(t), φ är en bijektiv funktion för alla relevanta t, beteckna inversen till φ med h, dvs t = h(x).
Då gäller formeln för variabelsubstitution i enkelintegraler:

b.............h(b)
∫f(x)dx = ∫f(φ(t))φ´(t)dt
a.............h(a)

Sätt t = √x => x = t^2, och x´(t) = 2t. Här är alltså φ(t) = t^2, φ´(t) = 2t, och φ:s invers h(x) = √x.
Då fås (prickarna igen!):

b.....................√b.......................√b
∫√x sin√x dx = ∫(t sin t)*2t dt = 2∫(sin t)* t^2 dt
b.....................√a.......................√a

Hädanefter utesluter jag i integraler och primitiva funktioner integrationsgränserna. Detta görs för tydlighets skull, eftersom resultatet såg väldigt rörigt ut. För t gäller övre integrationsgräns t = √b, undre integrationsgräns t = √a.


Partialintegrera: sätt f = sin t , g = t^2, och F= -cost. Då ger formeln för partialintegrering:

∫(sin t)* t^2 dt = [(-cos t)*t^2] - ∫(-cos t)* 2t dt = ∫(cos t)* 2t dt - [(cos t)*t^2]


Upprepa partialintegrering i sista integralen, med f = cos t , g = 2t, F= sint:

∫(cost)*2t dt = [sint*2t] - ∫ sint*2 dt = [sint*2t] - [(-cost)*2] = [sint*2t]+2[cost]


Sätt in sista ledet i integralen på raden ovanför:

∫(sin t)* t^2 dt = ∫(cos t)* 2t dt - [(cos t)*t^2] = [sint*2t]+2[cost] - [(cos t)*t^2]


Gå sedan ännu en rad uppåt (andra likheten skippad) :

∫√x sin√x dx = 2∫(sin t)* t^2 dt = 2([sint*2t]+2[cost] - [(cos t)*t^2])


Substituera nu tillbaka. Kom nu ihåg vad jag sade om integrationsgränserna!
För variabeln t gäller övre integrationsgräns t=√b samt undre integrationsgräns t=√b.
Detta ger för variabeln x gränserna x=a samt x=b, eftersom vi använt variabelsubstitutionen x=t^2.

Och nu skriver jag för tydlighets skull ut gränserna (med de jävla prickarna i släptåg!)

b..................................√b.........√b.. ...............√b......................b.......... ...b.......................b
∫√x sin√x dx = 2([sint*2t]+2[cost] - [(cos t)*t^2]) = 2[2√x sin√x ]+4[cos√x] - 2[|x|(cos √x)]
a..................................√a..........√a. ...............√a......................a.......... ...a.......................a

Observera i den sista hakparentesen: jag har skrivit |x| istället för x. Detta ty t = √x, vilket medför att t^2 = (√x)^2 = |x|, vilket är lika med x enbart för positiva x !! Om detta är relevant beror ju på om gränserna a resp b är <0 eller ej. I vårt fall är gränserna ≥0, så det har ingen betydelse, varför vi kan skriva x istället för |x|.

För att slutligen få vårt sökta I (jag fick aldrig använt beteckningen...) sätter vi in värdena för a och b: a=0 samt b=(π/2)^2.

Men dem får du fanimej stoppa in själv.

Hur får jag in integraler och rotutryck i inlägget? Skriv texten i ett Worddokument, välj "infoga symbol", välj teckensnitt "Lucida Console", leta upp symbolen ifråga, infoga, markera texten och kopiera, klistra in i inlägget. Dessa symboler accepteras. Ja , till och med ♫ accepteras.

Angränsande fråga: kan man på liknande sätt lägga in exponent, så att man slipper skriva x^2?

Taxam för svar.

Har också haft problem med det. Men en del symboler fungerar inte att lägga in i texten. Det är troligtvis någon annan motor. Rottecknet brukar dock fungera för mig på den FB.

Ni kan öppna Kör (CTRL + R) och skriva in "charmap" så får ni upp alla tecken. Däribland "uppöhöjt med)".

Jag och min stora trut. På en annan dator, samma webläsare, annan ort, blev det bara en fyrkant. Ska vara 2 åttondelsnoter.

Men med charmap? testar: Aha, några tecken går inte! Nå, då testar vi.

∫t² sin t dt = [t²(-cos t)] - ∫2t(-cos t) dt = ∫2t cos t dt - [t²cos t]

Ser vettigt ut. Och så trigonometriska funktioner:

cos²x + sin²x = 1

Potensfunktionen: xⁿ

Exponentialfunktionen: eⁿ , kan inte få upp ett litet x. Får väl skriva eⁿ , n=ax eller liknande.

Men GaussBonnet, du kan ju använda CODE-knappen (symbolen #) till höger om QUOTE-knappen, så slipper du använda prickar.