Konversionsformler och additionssatser för elementära funktioner

I den här tråden förläggs mindre uppenbara relationer för speciella funktioner, såsom konverteringsformler och additionssatser.

Formlerna är olika för olika klasser av funktioner och behandlas separat. Alla formler presenteras med fullständiga härledningar.

Resultaten används bl.a. vid integralberäkningar, se tråden http://www.flashback.org/showthread.php?t=324261

Litteratur: "Matematisk analys" av Carl Hylte´n Cavallius och Lennart Sandgren.
Populärt kallad Hylta-Kalle .

En formel som ofta används vid trigonometriska beräkningar är de Moivres formel: e^ix = cos x + i sin x
Man kan ju fråga sig hur man kommer fram till denna.

Sätt f(x) = cos x + i sin x.

Då är f´(x) = d/dx(cos x + i sin x) = -sin x + i cos x = i*(i sin x + cos x) = if(x)

Dividera med f(x): f´(x)/f(x) = i

Vänsterledet kan skrivas som en logaritmisk derivata: d/dx(ln f(x)) = f´(x)/f(x) = i

Integrera och lös ut f: ln f(x) = ix + C => f(x) = e^(ix+C) = e^ix*e^C = C´*e^ix

Bestäm konstanten C´. Med f(x) = cos x + i sin x fås f(0) = cos 0 + i sin 0 = 1. Med f(x) = C´*e^ix fås f(0) = C´*e^i*0 = C´. Därav följer att C´= 1, så att f(x) = e^ix

Alltså: f(x) = cos x + i sin x = e^ix


Tillägg: potensreglerna gäller för den komplexvärda exponentialfunktionen: e^i(x+y) = (e^ix)*(e^iy)

Potensreglerna för exponentialfunktionen: e^i(x+y) = (e^ix)·(e^iy)

Summan av 2 vinklar blir då:
cos(x+y) + i sin(x+y) = e^i(x+y) = (e^ix)·(e^iy) = (cos x + i sin x)·(cos y + i sin y)

Identifiera real- och imaginärdelar:
cos(x+y) = cos x·cos y - sin x·sin y
sin(x+y) = cos x·sin y + sin x·cos y

Trigonometriska ettan (bevisas med definitionerna, Pythagoras sats och en figur):
cos²x + sin²x = 1

Sätt y=x, sätt in i formeln för cos:
cos 2x = cos²x - sin²x

Trigonometriska ettan ger: cos 2x = cos²x - sin²x = 1 - 2 sin²x
Lös ut: sin²x = ½(1 - cos 2x)

Sätt in detta i ettan:
cos²x = 1 - sin²x = 1 - ½(1 - cos 2x) = ½(1 + cos 2x)


Sammanfattning:

Trigonometriska ettan:
cos²x + sin²x = 1

Additionsformler:
cos(x+y) = cos x·cos y - sin x·sin y
sin(x+y) = cos x·sin y + sin x·cos y

Kvadreringsfomler:
sin²x = ½(1 - cos 2x)
cos²x = ½(1 + cos 2x)

Utgå från de tidigare additionsformlerna:
cos(x+y) = cos x·cos y - sin x·sin y (1)
sin(x+y) = cos x·sin y + sin x·cos y (2)

Dividera (2) med (1):
tan(x+y) = sin(x+y)/cos(x+y) = (cos x·sin y + sin x·cos y)/(cos x·cos y - sin x·sin y)

Dividera sista ledet med cos x·cos y:
(cos x·sin y + sin x·cos y)/(cos x·cos y - sin x·sin y) = (tan y + tan x)/(1 - tan x·tan y)

Alltså: tan(x+y) = (tan y + tan x)/(1 - tan x·tan y)

Analogt för cot. Dividera (1) med (2):
cot(x+y) = cos(x+y)/sin(x+y) = (cos x·cos y - sin x·sin y)/(cos x·sin y + sin x·cos y)

Dividera sista ledet med sin x·sin y:
(cos x·cos y - sin x·sin y)/(cos x·sin y + sin x·cos y) = (cot x·cot y - 1)/(cot x + cot y)

Alltså: cot(x+y) = (cot x·cot y - 1)/(cot x + cot y)

Resultat:

tan(x+y) = (tan x + tan y)/(1 - tan x·tan y)
cot(x+y) = (cot x·cot y - 1)/(cot x + cot y)

Redan kan man skönja några frågeställningar som kommer att uppstå i klarare form senare.

- Hur hänger de trigonometriska funktionerna ihop med varandra?

- Vilka kan uttryckas i andra trigonometriska funktioner?

- Hur omvandlar man dessa i varandra?

- Hur många oberoende trigonometriska funktioner finns det? Dvs funktioner som inte kan uttryckas i varandra, ett sorts minsta gemensamma nämnare?

- Gäller samma förhållande för alla andra elementära funktioner? Dvs hur många oberoende elementära funktioner finns det?

Svaret på den sista frågan dyker oväntat upp när man ska visa varför man inte kan uttrycka den primitiva funktionen till e^(-x²) i elementära funktioner.

Mer därom senare.

Utgå från additionssaten för tan:
tan(x+y) = (tan x + tan y)/(1 - tan x·tan y)

Sätt x = arctan u , y = arctan v . Detta ger:

tan(arctan u + arctan v) = (tan(arctan u) + tan(arctan v))/(1 - tan(arctan u)·tan(arctan v))

Förkorta i sista ledet:

tan(arctan u + arctan v) = (u + v)/(1 - uv)

Använd identiteten a = tan(arctan a) i sista ledet:

tan(arctan u + arctan v) = (u + v)/(1 - uv) = tan(arctan((u + v)/(1 - uv)))

Nu är tan en π-periodisk funktion. Då gäller att om tan a = tan b, så är a-b en heltalsmultipel av π. Dvs: tan a = tan b => b = a+n·π , n є Z+ (=n tillhör mängden positiva heltal).

Därav följer:

tan(arctan u + arctan v) = tan(arctan((u + v)/(1 - uv))) =>

arctan u + arctan v = arctan((u + v)/(1 - uv)) + n·π

Utgå från additionssaten för tan:
cot(x+y) = (cot x·cot y - 1)/(cot x + cot y)

Sätt x = arccot u , y = arccot v . Detta ger:

cot(arccot u + arccot v) = (cot(arccot u)·cot(arccot v) - 1)/(cot(arccot u) + cot(arccot v))

Förkorta i sista ledet:

cot(arccot u + arccot v) = (uv - 1)/(u + v))

Använd identiteten a = cot(arccot a) i sista ledet:

cot(arccot u + arccot v) = (uv - 1)/(u + v)) = cot(arccot((uv - 1)/(u + v)))

Nu är på analogt sätt cot en π-periodisk funktion.
cot a = cot b => b = a+n·π , n є Z+

Därav följer:

cot(arccot u + arccot v) = cot(arccot((uv - 1)/(u + v))) =>

arccot u + arccot v = arccot((uv - 1)/(u + v)) + n·π

Redan nu ses de slående likheterna mellan skenbart olika trigonometriska funktioner. I själva verket finns det en uppsjö av konverteringsformler mellan funktionerna. En utmärkt lista, dock utan härledningar, finns på Wikipedia:
http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_identity

För att kunna fortsätta behövs lite allmänna begrepp för funktioner.

Ett ofta använt begrepp är kontinuitet. Mera exakt brukar man säga att en funktion f(x) är kontinuerlig i en punkt x0. Här ska vi inte gå in på detaljer, eftersom man då riskerar tappa den röda tråden. Det får räcka med några exempel.

Populärt brukar man säga att en kontinuerlig kurva är en kurva som man ritar utan att lyfta pennan. Sammanhängande kurvstycke skulle man kunna kalla den. För en funktion innebär det att det inte finns avbrott på kurvan, eller ändliga hopp i y-led längs funktionskurvan. Sådana hopp kallas språngdiskontinuiteter. Det finns mera komplicerade typer av diskontinuiteter än språng, men vi går inte in på det här.

För att bilda sig en uppfattning om hur det kan se ut. Det enklaste exemplet är y = 1/x. Den har 2 skilda delar (grenar), en för x>0 (till höger om y-axeln) och x<0 (vänster om). I punkten x= 0 är den inte definierad. Det betyder att den inte existerar där. Om man tittar på fallet då x->0 från vänster (dvs x negativ) så skenar y=1/x iväg ner mot oändligheten. På liknande sätt då x->0 från höger (dvs x >0) så skenar y=1/x iväg upp mot oändligheten. Och för x=0 finns inget värde.

Därefter ta funktionen y = tan x. Med definitionen av tan x som kvoten mellan sin x och cos x får man att det händer nåt avgörande i de punkterna där cos x=0, dvs för x=π/2, 3π/2, 5π/2, osv, allmänt för x=π/2+nπ.
Då x positivt, mindre än π/2 och x->π/2, så är cos x >0 och går mot noll. Dessutom är sin x>0, och går mot 1. Då går tan x mot 1/0, dvs mot +∞.

Men det ser annat ut på andra sidan.
Då x positivt, större än π/2 och x->π/2, så är cos x<0 och går mot noll. Då är sin x>0, och går mot 1. Då går tan x mot -1/0, dvs mot -∞.

Så när x närmar sig π/2 genom att minska mot π/2, skenar tan x iväg neråt mot ∞; när x närmar sig π/2 genom att öka mot π/2, skenar tan x iväg uppåt mot +∞.
På liknande sätt får man att när x går mot -π/2 genom att minska från noll, så skenar tan x iväg neråt mot -∞.
Om man ritar den ser man att y = tan x vid x=-π/2 löper den nerifrån -∞, går upp genom origo, och skenar iväg uppåt mot +∞.
I punkten x=+π/2 existerar inget funktionsvärde för tan x.
När x=+π/2 passeras upprepas funktionen; vid x precis till höger om +π/2 löper funktionen nerifrån -∞, går upp genom y-värdet noll
för x=π. När x växer förbi π skenar den iväg uppåt. När x går mot 3π/2 går funktionen mot +∞. Och så upprepas det längs hela x-axeln.
Funktionen y = tan x är π-periodisk.

En bild som illustrerar vad jag uttrycker i ord finns här: http://mathworld.wolfram.com/Tangent.html

1) Eulers formel: e^ix = cos x + i sin x

2) de Moivres formel: (cos x + i sin x)^n = cos(nx) + i sin(nx)


3)
Additionssatserna för arctan resp arccot:

"Nu är på analogt sätt cot en π-periodisk funktion.
cot a = cot b => b = a+n·π , n є Z+"

Det ska vara n є Z. Såväl negativa som positiva heltal n tillåts.


4)
Additionssatsen för arctan har visats ovan (här formulerat med x,y istället för u,v):

arctan x + arctan y = arctan((x + y)/(1 - xy)) + nπ

Denna formel gäller för alla x,y є R , xy≠1, n є Z, vilket naturligt framgår i härledningen


Tillägg:
Formlerna härleds helt enligt Hylta-Kalles teoretiska framställning. I åtskilliga fall kommer formler att presenteras med nummer på identiska exempel uttryckligen angivna i boken.

Additionssatsen för arctan:

arctan x + arctan y = arctan((x + y)/(1 - xy)) + nπ

Fortsättningsvis kommer helt frankt att användas n=0.

Ur denna formel kan härledas ett användbart specialfall som kräver en hel del försiktighet.


Det inses snart vid försök att man inte kan sätta in y=1/x direkt i additionsformeln. Man måste kringå den svårigheten med en gränsvärdesundersökning.

För att kunna använda additionsformeln för arctan införs först talet a enligt 0<a<1.

Dessutom gäller (för x≠0):


I additionsformeln arctan x + arctan y = arctan((x + y)/(1 - xy)) ansätts y=a/x:

arctan x + arctan a/x = arctan((x + a/x)/(1 - a))

Betrakta först fallet x>0.
Beräkna uttrycket i argumentet för arctan i högerledet:

(x + a/x)/(1-a) =
= x/(1-a) + a/(1-a)x =
= x/(1-a) - 1/x + 1/(1-a)x =
= -1/x + (x + 1/x)/(1-a)

Då x>0 är (x + 1/x)>0. Med 0<a<1 fås (1-a)>0.
Således: (x + 1/x)/(1-a)>0 för x>0 och 0<a<1.

Därav:
Nu är arctan y en kontinuerlig funktion av y då y->-∞ resp y->+∞, med gränsvärdena:
Här är y = -1/x + (x + 1/x)/(1-a), varvid kontinuiteten hos arctan ger:


Därefter betrakta x<0.
Då x<0 är (x + 1/x)<0. Som tidigare gäller (1-a)>0.
Då följer (x + 1/x)/(1-a)<0 för x<0 och 0<a<1.

På motsvarande sätt fås:
Kontinuiteten hos arctan ger:

Sätt in detta i additionsformeln för arctan:

Om man utgår från allmänt n≠0 fås i högerledet:
+π/2+nπ för x>0 , -π/2+nπ för x<0

Detta kan formuleras kortare.

Definiera:
σ = sign x,
σ = +1 om x>0,
σ = -1 om x<0

Resultat:

arctan x + arctan(1/x) = σπ/2

Många funktioner kan skrivas om i varandra. Här ska några formler härledas. I förekommande fall anges nummer och sida i ovan angivna bok.