Flashback bygger pepparkakshus!
  1. Vetenskap & humaniora
  2. Fysik, matematik och teknologi

Bestämd Integral

Svara
2006-04-23, 18:09
  #1
Madass
Medlem
När det inte går hem får jag söka mig till FB. Nåväl, denna bestämda integralen j*vlas med mig.

Ska ta mig ett försök till att koda: (förvänta er ingen sensation). Nåväl:

Kod: 
e
∫x3 lnx dx
1

Def: Lyder ju:

Om f ligger i ett intervall som innehåller a och b bestäms bestämd integral följande:

Kod: 
b	   b
∫f(x)dx = [ F(x)] = F(b) – F(a)
a                                    a

Men icke, jag kanske gör fel på den a´la primitiva funktionen
Citera
2006-04-23, 18:51
  #2
luulen
Medlem
luulens avatar
Citat:
Ursprungligen postat av Madass
När det inte går hem får jag söka mig till FB. Nåväl, denna bestämda integralen j*vlas med mig.

Ska ta mig ett försök till att koda: (förvänta er ingen sensation). Nåväl:

Kod: 
e
∫x3 lnx dx
1
[..]
Sätt U = ln(x) och dV = x^3. Du får (ledsen för pseudo-latex-kod, orkar inte)

\int_a^b x^3 ln x dx = [U*V]_a^b - \int_a^b V*dU

Den borde du kunna lösa. Hoppas jag har rätt vad gäller partiell integrering.

Äh, man ser det ju direkt. Det blir alltså:

1/4*x^4*ln(x) i a och b - (1/4)*(1/4)*x^4 i a och b. Stämmer det?
Citera
2006-04-23, 19:01
  #3
Madass
Medlem
Citat:
Ursprungligen postat av luulen
Sätt U = ln(x) och dV = x^3. Du får (ledsen för pseudo-latex-kod, orkar inte)

\int_a^b x^3 ln x dx = [U*V]_a^b - \int_a^b V*dU

Den borde du kunna lösa. Hoppas jag har rätt vad gäller partiell integrering.

Äh, man ser det ju direkt. Det blir alltså:

1/4*x^4*ln(x) i a och b - (1/4)*(1/4)*x^4 i a och b. Stämmer det?

Men du använder ju inte den primitiva funktionen.

ln x = xlnx - x
Citera
2006-04-23, 19:15
  #4
luulen
Medlem
luulens avatar
Citat:
Ursprungligen postat av Madass
Men du använder ju inte den primitiva funktionen.

ln x = xlnx - x
Men hur tror du man hittar primitiva funktionen till ln(x)?

U = ln x och dV = 1

\int ln x = U*V - \int V dU = x*ln(x) - \int x*1/x dx = x*ln(x) - x + C

Till funktionen är x^3*ln(x) hittade jag en primitiv funktion.
Citera
2006-04-23, 19:35
  #5
Madass
Medlem
Citat:
Ursprungligen postat av luulen
Men hur tror du man hittar primitiva funktionen till ln(x)?

U = ln x och dV = 1

\int ln x = U*V - \int V dU = x*ln(x) - \int x*1/x dx = x*ln(x) - x + C

Till funktionen är x^3*ln(x) hittade jag en primitiv funktion.

6,95 blir det.
Citera
2006-04-23, 19:46
  #6
Hedlund
Medlem
Citat:
Ursprungligen postat av Madass
När det inte går hem får jag söka mig till FB. Nåväl, denna bestämda integralen j*vlas med mig.

Ska ta mig ett försök till att koda: (förvänta er ingen sensation). Nåväl:

Kod: 
e
∫x3 lnx dx
1

Def: Lyder ju:

Om f ligger i ett intervall som innehåller a och b bestäms bestämd integral följande:

Kod: 
b	   b
∫f(x)dx = [ F(x)] = F(b) – F(a)
a                                    a

Men icke, jag kanske gör fel på den a´la primitiva funktionen

§ x^3 * ln(x) dx, antag att f*ln(x) + g där f,g är polynom uppfyller detta, då får vi:

§ x^3 * ln(x) dx = f*ln(x)
x^3 * ln(x) = f' * ln(x) + f/x + g'

Dvs x^3 * ln(x) = f' * ln(x) <=> f' = x^3 => f = x^4/4, vi ska ha
f/x + g' = 0 <=> g' = -f/x = -x^3/4 dvs g' = -x^3/4, dvs g = -x^4/16, dvs:

§ x^3 * ln(x) dx = 1/4 * (x^4 * ln(x) - x^4/4), alltså sätter vi in gränserna får vi 1/4 * (e^4 - e^4/4) - 1/4 * (-1/4) = 1/4 * (3e^4/4) + 1/16 = (3e^4 + 1)/16 ~= 10.29965313

(Ja, man kan få fram en primitiv funktion till x^3 * ln(x) enklare, men jag orkar fan inte hålla på med partiell integration, lättare med min fulmetod :P)

Edit: Rättade litet fel ...
Med fulmetoden får man \int_{1}^{e} x^n * ln(x) dx = (ne^(n + 1) + 1)/(n + 1)^2, dvs här med n=3 så (3e^4 + 1)/16.
Citera
2006-04-23, 20:15
  #7
Madass
Medlem
Citat:
Ursprungligen postat av Hedlund
§ x^3 * ln(x) dx, antag att f*ln(x) + g där f,g är polynom uppfyller detta, då får vi:

§ x^3 * ln(x) dx = f*ln(x)
x^3 * ln(x) = f' * ln(x) + f/x + g'

Dvs x^3 * ln(x) = f' * ln(x) <=> f' = x^3 => f = x^4/4, vi ska ha
f/x + g' = 0 <=> g' = -f/x = -x^3/4 dvs g' = -x^3/4, dvs g = -x^4/16, dvs:

§ x^3 * ln(x) dx = 1/4 * (x^4 * ln(x) - x^4/4), alltså sätter vi in gränserna får vi 1/4 * (e^4 - e^4/4) - 1/4 * (-1/4) = 1/4 * (3e^4/4) + 1/16 = (3e^4 + 1)/16 ~= 10.29965313

(Ja, man kan få fram en primitiv funktion till x^3 * ln(x) enklare, men jag orkar fan inte hålla på med partiell integration, lättare med min fulmetod :P)

Edit: Rättade litet fel ...
Med fulmetoden får man \int_{1}^{e} x^n * ln(x) dx = (ne^(n + 1) + 1)/(n + 1)^2, dvs här med n=3 så (3e^4 + 1)/16.

Får det till:

lne*e^4/4-e^4/8 - ln1*1^4/4-1^4/8
Citera
2006-04-23, 20:24
  #8
luulen
Medlem
luulens avatar
Citat:
Ursprungligen postat av Madass
Får det till:

lne*e^4/4-e^4/8 - ln1*1^4/4-1^4/8
4*4 = 16, ln (e) = 1, ln (1) = 0.

e^4/4 - 1/16*(e^4 - 1) = 1/16*(3*e^4 - 1) ~ 10.3
Citera
2006-04-23, 22:13
  #9
GaussBonnet
Medlem
Va?? Ännu en integral jag håller på att missa??
Eoouh, det var åsså en rälig fan.

Sätt:

Kod: 
    e 3
I = ∫x lnx dx
   1

Och den här gången tänker jag använda beteckningen! Gör nu en variabelsubstitution:

Kod: 
   t
x=e

Det jag suktar efter är vår vackra formel för variabelsubstitution i enkelintegraler:

Kod: 
b          h(b)
∫f(x)dx = ∫f(φ(t))φ´(t)dt 
a          h(a)

Här är x = φ(t) = e^t , φ´(t) = e^t och inversen är t = h(x) = ln|x|
Gränserna:h(1) = ln|1|=0 , h(e) = ln|e| = 1

Kod: 
e
∫x3 lnx dx =
1

  h(e) 3t  t
= ∫  te  e dt =
  h(1)

   1   4t
= ∫  te  dt
  0

Eftersom jag är så slö, blir det en ny variabelsubstitution:
t = ψ(u) = u/4 , ψ´(u) = ¼ och inversen (som jag kallar k) är u = k(t) = 4t.
Så gränserna: k(0) = 0, k(1) = 4 . Då är denna integral i sin tur:

Kod: 
    1   4t    k(1)    u
I = ∫ te  dt = ¼∫ u e  · ψ´(u) du =
    0        k(0)

     4    u
 = ¼∫ u e  · ¼ du
     0

Partialintegrera sista integralen. För den som är hemma på knasiga funktioner så känner man igen denna som en av de sista integralerna som uppträder när man partialintegrerar gammafunktionen upprepade gånger. Vilket jag inte tänker göra här.
Det får bli en senare uppgift i en annan tråd (när jag inte är pömmig).
Nu skriver jag exponenter på det klumpigare sättet, eftersom det annars hamnar fel hur man än gör.

Kod: 
          4
I = (1/16)∫ u e^u  du
          0

Sätt f=e^u, g=u, så att F=e^u, och g´=1.
För tydlighets skull skrivs inte integrationsgränserna ut. Då följer:

Kod: 
16 I = ∫u·e^u  du = [(e^u)·u]-∫e^u·1 du =
                       F   g     F  g´

= [(e^u)·u]-[e^u] = [(e^u)·(u-1)]

Och så baklängesjobb; substituera tillbaka. Det är alltid lika roligt, eftersom det betyder att man lyckats beräkna integralen .
Beräkna gränserna. Vi har u = 4t = 4ln|x| => x = e^(u/4), x>0. Gränserna: u=4 => x=e , u=0 => x=1

Trots att resultatet ser grisigt ut, sätter jag (övertydligt) in gränserna i formeln. Ni kan säkert tyda det.


Kod: 
       4
16 I = ∫ u· e^u  du =
       0
              u=4                         x=e
= [(e^u)·(u-1)] = [(e^(4ln|x|))·(4ln|x|-1)]
              u=0                         x=1

                   x=e
= [(x^4)·(4ln|x|-1)]
                   x=1

I sista ledet använder jag att e^ln|x| = |x| = x (i vårt fall är |x| = x då x>0). Dessutom den välkända regeln a^xy = (a^x)^y.

För att slutligen få I, sätt in gränserna, och dividera med 16. Men det får du fanimej göra själv den här gången också.

OBS! Kolla genom, jag kan sannerligen ha räknat fel nånstans. (manne1973, HJÄÄÄLP.... )
Citera
2006-04-24, 09:01
  #10
GaussBonnet
Medlem
Allmännare
*tänka*

Anta istället allmän exponent. Samma förutsättningar som i mitt förra inlägg
Kod: 
    b
I = ∫x^n lnx dx =
    a

  h(b) nt  t
= ∫  te  e dt =
  h(a)

  h(b) (n+1)t
= ∫  te  dt
  h(a)

Och så, med t = ψ(u) = u/(n+1) , ψ´(u) = 1/(n+1):

Kod: 
     h(b)    (n+1)t
I= ∫  te  dt
   h(a)
         k(h(b))    u
= (1/n+1)∫      u e  · ψ´(u) du =
          k(h(a))

             k(h(b))  u
= (1/(n+1)^2)∫    u e  du
              k(h(a))

Nu är u = (n+1)t = (n+1)·ln|x| => x = e^(u/(n+1)), x>0. Med den sammansatta variabelsubstitutionen gäller x = φ(ψ(u)), invers u=k(h(x)).
Gränserna är: u=k(h(b)) <=> x=b ; u=k(h(a)) <=> x=a

Den primitiva funktionen till u·e^u är ju densamma som tidigare, så att vi får:
Kod: 
                        u=k(h(b))
I = (1/(n+1)^2)[(e^u)·(u-1)] = 
                        u=k(h(a))

                                              x=b
= (1/(n+1)^2)[(e^((n+1) ln|x|))·((n+1) ln|x|-1)] =
                                              x=a

                                       x=b
= (1/(n+1)^2)[(|x|^(n+1))·((n+1) ln|x|-1)]
                                       x=a

Och så kan jag väl kosta på mig att stoppa in gränserna:

Kod: 
                                         x=b
I = (1/(n+1)^2)[(|x|^(n+1))·((n+1) ln|x|-1)] =
                                         x=a

= (1/(n+1)^2)[(|b|^(n+1))((n+1) ln|b|-1)-(|a|^(n+1))((n+1) ln|a|-1)]

Resultatet är ju inte så pjåkigt:

Kod: 
b
∫x^n lnx dx =
a

= (1/(n+1)^2)[(|b|^(n+1))((n+1) ln|b|-1)-(|a|^(n+1))((n+1) ln|a|-1)]
Citera
Svara

Skapa ett konto eller logga in för att kommentera

Du måste vara medlem för att kunna kommentera

Skapa ett konto

Det är enkelt att registrera ett nytt konto

Bli medlem

Logga in

Har du redan ett konto? Logga in här

Logga in