*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Lär dig tänka i radianer. Det tjänar du verkligen på om du läser vidare på universitet eller högskola. Formler är snyggare i radianer än i grader.

Exempel:
I radianer gäller
sin(x) = x - x³/6 + x⁵/120 - x⁷/5040 + x⁹/362880 - ...
I grader gäller
sin(v) = πx/180 - (πx/180)³/6 + (πx/180)⁵/120 - (πx/180)⁷/5040 + (πx/180)⁹/362880 - ...

Ändrar:

Poängen är alltså att man egentligen ALLTID räknar med radianer, och att grader = π/180 (radianer). Denna översättning görs dock automatiskt när man ställer in en miniräknare på grader.

Detta är explicit på iaf TI89, där man kan ställa in på radianer och ändå få t ex sin(90°)=1. Dvs när man tillfogar symbolen ° så översätter räknaren detta till •π/180.

Utöver det som AlgotR skrev kan du även fundera kring vilken period tangensfunktionen vanligtvis har och vilken period dom har i dom där uppgifterna. Detta hjälper dig luska ut värdet på k i (kx+v). Hur värdet på k påverkar perioden står på sida 54 i den där boken.

Visa att bland p föremål följt av ett val bland q föremål alltid leder till fler valmöjligheter, än ett val bland p + q föremål, förutsatt att p ≥ 2 och q > 2.

Jag ska alltså visa att:

p*q > p + q när p ≥ 2 och q > 2.

p*q - q > p ⇔ q(p-1) > p ⇔ q > p/(p-1).

Hur fortsätter jag härifrån?

Precis som du skrivit så är q > p/(p-1) =(p-1+1)/(p-1) = 1+1/(p-1) vilket stämmer eftersom q > 2 och max(1+1/(p-1)) = 2 då p=2.

Jag förstår.

Hur många binära tal mindre än 256 börjar och/eller slutar med 2 ettor?

För det första så har vi att 2^8 = 256 så vi vill hitta antalet binära tal bestående av som mest 7 bitar som börjar eller slutar med 2 ettor.

7 bitar) Låt A vara mängden av de binära strängar som börjar med 2 ettor och B mängden av de binära strängar som slutar med 2 ettor. Vi har då |AuB| = |A|+|B|-|A∩B| = 2^5 + 2^5 - 2^3 = 56

6 bitar) På samma sätt får vi 2^4 + 2^4 - 2^2 = 28

5 bitar ) På samma sätt får vi 2^3 + 2^3 - 2 = 14

4 bitar ) Även här får vi 2^2 + 2^2 -1 = 7

3 bitar eller färre) 0 sätt

Vi får då totalt 56+28+14+7=105. Här ser vi också att detta är en geometrisk summa där kvoten mellan två termer är 2. Det känns då som att om a_n är antalet binär strängar av längd n som börjar eller slutar med 2 ettor så har vi följande samband: a_n =2*a_(n-1).

Hur löser jag ut x i exponenten så att svaret blir 5000 kr?

Börja med att notera att 256 = 2^8, detta innebär att det är som mest 8 siffriga binära tal vi söker. Låt A_n vara mängden av de tal som uppfyller att de slutar eller börjar med två ettor. Vi kan börja med att notera att

A_1 = Ø, A_2 = {11}, A_3 = {110, 111}, A_4 = {1011, 1100, 1101, 1110, 1111}

Nu kan vi skapa mängden A_5 genom att för varje tal i A_4 placera en nolla och etta på tredje positionen från höger. Så man får alltså 2 tal från varje tal i A_4. Därför är alltså |A_5| = 2|A_4|.

Samma resonemang leder till att |A_{n + 1}| = 2|A_n|, n ≥ 4. Så nu söker vi alltså

|A_1| + |A_2| + |A_3| + |A_4| + |A_5| + |A_6| + |A_7| + |A_8| = 0 + 1 + 2 + 5 + 10 + 20 + 40 + 80 = 158.

Ser att jag inte läste uppgiften riktigt innan jag svarade förra gången... (missade att det sätts in 200 kr varje år).

Låt S(n) vara mängden pengar efter år n. Så man har att

S(0) = 200,
S(1) = 200*1.05 + 200,
S(2) = S(1)*1.05 + 200 = (200*1.05 + 200)*1.05 + 200 = 200*1.05² + 200*1.05 + 200
S(3) = S(2)*1.05 + 200 = 200*1.05³ + 200*1.05² + 200*1.05 + 200

Notera alltså att det är en geometrisk följd. Så man får att

S(n) = 200 * (1.05^(n + 1) - 1)/(1.05 - 1) = 4000*(1.05^(n + 1) - 1)

Nu ska du alltså hitta det minsta n sådant att S(n) ≥ 5000. Så vi har ekvationen

S(x) = 5000 ⇔
4000 * (1.05^(x + 1) - 1) = 5000 ⇔
1.05^(x + 1) - 1 = 5/4 ⇔
1.05^(x + 1) = 9/4 ⇔
(x + 1)lg(1.05) = lg(9/4) ⇔
x + 1 = lg(9/4)/lg(1.05) ⇔
x = lg(9/4)/lg(1.05) - 1

Så x ≈ 15.62, vilket därför innebär att man måste vänta i 16 år.

Jag ser att jag var lite för snabb när jag slängde fram min lösning men det verkar som att du också var det. Jag anser att |A_4| = 7, du har till exempel missat 0011 och 0111