*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

I ett kvadratiskt rum på 32m² ska lisa sätta upp en taklist längs väggarna. Hur mycket list behöver hon.


Suttit med den ett tag och jag förstår inte ordning jag ska skriva det som ett uttryck.

Kvadrat= 4 förmodar jag.

Jag fick nog inte till det riktigt trots allt. La upp en bild på mina uträkningar här:

http://img51.imageshack.us/i/img0139xa.jpg/

Kan du identifiera något felsteg?

Har fastnat på följande uppgifter och behöver vägledning:
1. Visa att integralen från 0 till oändligheten ((cos(x)/(x^2+1))dx är konvergent och att dess värde I gäller abs(I) är mindre eller lika med pi/2.
2. Är följande integraler absolutkonvergenta?
a) 0 -> oändlighet. (sin(x^2)/x^2)dx
b) 0 -> oändlighet. ((x-sqrt(x))/(2x+x^2))dx

Jämför med ∫ 1/(x^2+1) dx.


a) Hur ser sin(x²)/x² ut nära 0? Hur förhåller sig sin(x²)/x² till 1/x²? Är ∫ 1/x² dx konvergent i oändligheten?
b) Hur ser uttrycket ut nära 0? Hur ser det ut mot för stora värden på x?

Du har gjort allting rätt, men C = 1/(1 + 3i) = (1 - 3i)/((1 + 3i)(1 - 3i)) = (1 - 3i)/10 = 1/10 - 3i/10!

Använd absolutkonvergens:

∫ |cosx/(x² + 1)| dx ≤ ∫ 1/(x² + 1) dx = (lim A → ∞) arctanA - arctan0 = π/2

Eftersom vi har visat att ∫cosx/(x² + 1) är absolutkonvergent vet vi att |I| = |∫ cosx/(x² + 1) dx| ≤ ∫ |cosx/(x² + 1)| dx och därmed är |I| ≤ π/2 vilket skulle visas.

Sweet, då vet vi alltså att u=((1/10)-(3i/10))e^(3+1)x (u=Ce^(3+i)x)
Hur får vi nu ut svaret från detta? Det är just här jag är ganska osäker.

Hur multiplicerar vi ihop vårt uttryck för u?

y(x) = Re(u(x)) = Re((1/10 - 3i/10)e^(x(3 + i))) = Re((1/10 - 3i/10)·e^(3x)·e^(ix)) = e^(3x)·Re((1/10 - 3i/10)e^(ix)) = e^(3x)·Re((1/10 - 3i/10)(cosx + i·sinx)) = e^(3x)·Re(1/10·cosx + i/10·sinx -3i/10·cosx + 3/10·sinx) = e^(3x)·(1/10·cosx + 3/10·sinx) = e^(3x)/10·(cosx + 3sinx)

Givetvis. Stort tack för ikväll.

1. Find the Laurent series for sin(2z)/z^3 in |z|>0.

Ingen aning hur man gör, och saknar facit. Taylorutvecklingen blir väl = 2/z^2 + 2/3! + 32z^2/5! + O(128z^7).

2. Find and classify the isolated [singularity] of... 1/(e^z - 1)

Har två frågor här.

a) Svaret är enkel pol för z = 2k*pi*i, k heltal. Hur då? Det gäller att "A function f has a pole of order m at z_0 iff in some punctured neighborhood of z_0 f(z) = g(z)/(z-z_0)^m where g is analytic at z_0 and g(z_0)=/=0". Hur hittar man en sådan omskrivning av funktionen ifråga? I det här fallet är f(z) = 1/(Sum{1,inf} z^k/k!) om man Taylorutvecklar.

b) Om man istället inte utgår från facit... Följande gäller ju för singulariteter: http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_singularity#Complex_analysis Ens om man vet att det är en pol det rör sig om, hur hittar man det tal (n i länken) det gäller för? Vet man inte det upplever jag att det blir överdrivet krångligt, med att först hitta Laurent-serie, sen analysera varenda koefficient och dess index, etc etc.

3. What is the order of the pole of f(z) = (2 cos z - 2 + z^2)^(-2) at z=0? [Hint: Work with 1/f(z).]

Det här är väl egentligen liknande frågeställning. Om man låter F = 1/f så är Taylorutvecklingen F(z) = 4(z^4/4! + O(z^6))^2. Eftersom f har en pol i z=0 så har F en removable singularity där. Happ, sen då? (facit saknas)

sin2z = ∑_(0, ∞) (-1)ⁿ·(2z)^(2n + 1)/(2n + 1)!

sin(2z)/z³ = sin(2z)/(2z/2)³ = 8·sin(2z)/(2z)³ = 8/(2z)³ ∑_(0, ∞) (-1)ⁿ·(2z)^(2n + 1)/(2n + 1)! = 8 ∑_(0, ∞) (-1)ⁿ·(2z)^(2n - 2)/(2n + 1)!

Därmed sin(2z)/z³ = 2/(z²) - 4/3 + 4z²/15 + ... (de tre första termerna i Laurentserien).

Tack. Men, vad är då skillnaden mellan Taylor-serie och Laurent-serie?