*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Först måste gälla att y(2) = C·e^(p·2) = 1. Sedan har vi att y' = C·p·e^(px) vilket innebär att y'(2) = C·p·e^(2p) = 3. Vi har alltså att:

{ C·e^(2p) = 1
{ C·p·e^(2p) = 3

⇒ e^(2p) = 1/C vilket innebär att p = 3 (sätt in i den andra ekvationen så får du ut det direkt) och därmed att C = 1/e^(6). Därmed y = e^(3x - 6).

En allmän geometrisk summa:

s_n = (a_1 · [kⁿ - 1]) / (k-1)

s_10 = (100000 · [1,02^10 - 1]) / (1,02-1) = 1094972.1 ≈ 1094972 kr

Hej jag läser matte C och har aldrig fått klart för mig när man räknar med nuvärde. Kan någon förklara när det används och används det kanske i uppgiften under:

Jag är nästan säker på att mitt svar är rätt. Har du kollat med din lärare om det är fel i facit?

Dagens sista matteproblem

Bestäm volymen för den största räta cirkulära cylinder, som kan inskrivas i en sfär med radien R.

- Jag har i princip löst denna optimeringsuppgift. Dock är jag lite osäker på om mitt svar håller. Är det tänkt att man även ska maximera funktionen man får fram, finna dess nollställen och eventuella maxvärden också? Eller räcker det med ett uttryck för cylinderns maximala volym?

Checka min lösning: http://img811.imageshack.us/i/img0146j.jpg/

Vad tror ni? Håller det?

Obtain the first few terms of the Laurent series for... e^(1/z)/(z^2-1) for |z|>1

Svar: samma som http://www.wolframalpha.com/input/?i=series+e^(1/z)/(z^2-1)+at+infinity

2. Find and classify the isolated [singularity] of... 1/(e^z - 1)

Har två frågor här.

a) Svaret är enkel pol för z = 2k*pi*i, k heltal. Hur då? Det gäller att "A function f has a pole of order m at z_0 iff in some punctured neighborhood of z_0 f(z) = g(z)/(z-z_0)^m where g is analytic at z_0 and g(z_0)=/=0". Hur hittar man en sådan omskrivning av funktionen ifråga? I det här fallet är f(z) = 1/(Sum{1,inf} z^k/k!) om man Taylorutvecklar.

b) Om man istället inte utgår från facit... Följande gäller ju för singulariteter: http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_singularity#Complex_analysis Ens om man vet att det är en pol det rör sig om, hur hittar man det tal (n i länken) det gäller för? Vet man inte det upplever jag att det blir överdrivet krångligt, med att först hitta Laurent-serie, sen analysera varenda koefficient och dess index, etc etc.

3. What is the order of the pole of f(z) = (2 cos z - 2 + z^2)^(-2) at z=0? [Hint: Work with 1/f(z).]

Det här är väl egentligen liknande frågeställning. Om man låter F = 1/f så är Taylorutvecklingen F(z) = 4(z^4/4! + O(z^6))^2. Eftersom f har en pol i z=0 så har F en removable singularity där. Happ, sen då? (facit saknas)

Tack. Men, vad är då skillnaden mellan Taylor-serie och Laurent-serie?

Jag förstår inte hur förenkling utav ; (2/i)+(i^25)-(1/i^(3))blir Jag skulle uppskatta om någon kunde visa mig hur det gick det till.

Tack på förhand.

2. Find and classify the isolated [singularity] of... 1/(e^z - 1)

a) Svaret är enkel pol för z = 2k·π·i, k heltal. Hur då? Det gäller att "A function f has a pole of order m at z₀ iff in some punctured neighborhood of z₀ f(z) = g(z)/(z-z₀)^m where g is analytic at z₀ and g(z₀)=/=0". Hur hittar man en sådan omskrivning av funktionen ifråga? I det här fallet är f(z) = 1/(Sum{1,inf} z^k/k!) om man Taylorutvecklar.

Funktionen f(z) = sinz/z² har exempelvis ingen Taylorutveckling kring z = 0 eftersom funktionen ej är analytisk där, men dock en Laurentutveckling vilken vi kan ta fram med hjälp av vanlig Taylorutveckling.