*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Ska hitta Max och min.

Ett tips är att rita upp kurvan.
- Något reellt upphöjt till ett jämnt tal är alltid positivt, exempelvis y^4, r^98786 där y,r reella.
- Absolutbelopp är alltid positiva.
- Du vet exempelvis att när x närmar sig ___ så kommer nämnaren att gå mot ___ medan täljaren är positiv vilket gör att funktionsvärdet går mot ____ från ____. Hur ser det ut från andra hållet?
- Studera när eventuella teckenbyten för funktionen kan ske.
- Studera asymptoter.

Wolfram ger dig facit: http://www.wolframalpha.com/input/?i...%2F%28x%2B3%29

Okej men om normalen är vinkelrät mot planet, hur blir den parallell mot y-axeln?

Ta ett exempel, tänk dig en vektor som går ut i y-riktning, rita ut en till vektor där den första slutar i riktning av x eller z-axeln. Fyll i ytan som spänns upp av vektorerna. Rita en normal till planet och inse att den är vinkelrät mot y-axeln. Sedan kan du utveckla detta och rita ett annat plan som ligger orienterat i dels y riktning men även i en blandad x-z-riktning och rita en normal till detta och inse att det också är vinkelrätt mot y-axeln.

En normal till x-y-planet ligger i ±z-riktning (vinkelrätt mot både x och y). En normal till y-z-planet ligger i ±x-riktning (vinkelrätt mot både y och z). En normal till planet f som går ut i riktningarna u och v ges av ±(∂f/∂u)x(∂f/∂v). Kan du tolka detta grafiskt? En annan ges av ±k∇f där k ett reellt tal.

Jag beräknar, skriver om och gör rätt. Undrar dock, varför antar funktionen sitt största värde där r = 40/6 vilket är den enda lösningen. Antar att man ska göra en teckentabell och helt enkelt visa att där r = 40/6 antar funktionen sitt maximala värde. Är det korrekt? (Att man får visa via tabell).

Hur vet du att 40/6 måste vara med i tabellen och ännu viktigare, hur vet du att funktionen inte har större värde vid någon r som är inte med i tabellen?

Det vet jag inte. Därför måste jag beräkna f(x) för några andra tillåtna x i intervallet Det gjorde jag nu och där x = 40/6 är f(x) störst, dvs. den punkten är korrekt.

Som komplement till mitt första inlägg. Varför är det alltid det/de x som uppfyller f ' (x) = 0 som är det största x i funktioner som beskriver räta linjer? Beror det på att i "toppen" är derivatan 0 och därmed den största punkten?

Men hur vet du att funktionens värde blir inte större vid nån x där du inte beräknade?


Om derivatan vid nån x₀ finns och är inte 0 så kan inte x₀ vara extremum eftersom för en liten Δx vi har f(x₀-Δx) ≈ f(x₀) - f'(x)Δx och f(x₀+Δx) ≈ f(x₀) + f'(x)Δx; den ena är mindre än f(x₀) och den andra är större. Man får dock anstränga sig lite mer för att få fram fullstdändig bevis utifrån den här idén.

Alltså finns derivatan överallt så kan extremum bara vara där derivatan är 0. Däremot är derivatan 0 så är det inte nödvändigtvis extremum, t.ex. x³ vid x=0.

UPD: förstår inte det där met räta linjer, de har ju ingen maximum.

Jag testade ju alla giltiga x genom att rita upp den. Ändpunkterna vilka är gränser för definitionsmängden. Förstår inte riktigt det fetmarkerade; varför gäller det?

Vad beskriver annars den maximala arean hos exempelvis en triangel som bildas under en rät linje? Varför eftersöks det maximala värdet? Har nog blandat ihop det maximala värdet med maximum. Triangeln som bildas under den räta linjen är bara definierad för ett visst intervall, alltså där y är störst kommer den maximala arean att antas. Eller?

Antag att vi har ett lokalt maximum till funktionen f i x = a och att derivatan av f är definierad där.

Att f har lokalt max i x = 0 innebär att det finns δ > 0 så att om a - δ < x < a så gäller f(x) ≤ f(a). Detta gör att f(x) - f(a) ≤ 0 och x - a ≤ 0 varför (f(x) - f(a))/(x - a) ≥ 0. Eftersom derivatan av f är definierad i x = a kan vi låta x → a varvid vi får f´(a-) ≥ 0.

På samma sätt kan vi närma oss a från höger och få f´(a+) ≤ 0.

Olikheterna f´(a-) ≥ 0 och f´(a+) ≤ 0 ger tillsammans f´(a) = 0.

Alltså, om f(a) har ett lokat max i x = a och f´(a) är definierad som gäller f´(a) = 0.