*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Den ska givetvis vara så långsmal som möjligt.
Doch finns ett motsatsförhållande i. Så billigt som möjligt och att den ska ha en volym.
Det är således omöjligt att ge ett numeriskt svar.

Jag har några frågor i funktionalanalys som jag skulle behöva lite hjälp med.


Fråga 1
Min lösning

Är den här lösningen korrekt? X och Y är metriska rum men jag får en känsla att jag behandlat problemet som om de vore topologiska. Jag känner mig fortfarande lite knackig på flera saker i den här kursen så det kanske inte spelar någon roll eller så gör det lösningen felaktig.


Fråga 2

Här har jag faktiskt i princip ingen aning hur jag ska börja. Några förslag?

Det är helt OK att dividera två ekvationer med varandra vänsterled och högerled för sig, så länge som man vet att de vänsterled och högerled som står i nämnaren aldrig blir noll, vilket ju är fallet i den här uppgiften.

När du väl har (2-x)/x = tan(40°)/tan(70°) så är det bara att multiplicera båda sidor med x så blir det 2-x = x*[tan(40°)/tan(70°)] och detta är ju en enkel ekvation att lösa, det är bara att det är en stor koefficient som multipliceras med x i högerledet.

En annan metod som inte involverar att dividera ekvationer med varandra är att man inverterar de ursprungliga två ekvationerna jag skrev och får

x/h = 1/tan(40°) och (2-x)/h = 1/tan(70°)

Här kan man skriva om den andra som 2/h - x/h = 1/tan(70°) och sedan flyttar man om termer så får man x/h = 2/h - 1/tan(70°). Då har man två olika uttryck för x/h och dessa är därför lika. Man får då

1/tan(40°) = 2/h - 1/tan(70°)

Ur detta kan man lösa ut h direkt utan att behöva bestämma värdet på x.

Nu kommer en jävligt simpel fråga här. Hur förkortar jag 100/189 enklast? Det är ju inte jämna tal så det går inte att börja enkelt å dela med t.ex 2, hur tänker ni?

Det är väl just var det är. 100/189
Har inte kollar men tror ej det finns genensamma nämnare mer än 1.

Då metriken definieras av normen, dvs d(x, y) = ∥x - y∥, gäller bl.a:

d(αx, αy) = |α|d(x, y).

Är det villkoret uppfyllt för den givna metriken?

Hur blir |(√(2)/a){0 till a}∫sin(πx/a)sin(πx/2a)dx|² = 32/9π²?
(2/a²){0 till a}∫sin²(πx/a)sin²(πx/2a)dx
Har försökt att skriva om med lite trigonometriska identiteter men utan resultat.

Dela upp både täljare och i primtal och förkorta bort det som går. Alla tal kan skrivas som produkter av primtal på ett och endast ett sätt enligt aritmetikens fundamentalsats.

100 = 4 * 25 = 2*2*5*5 sedan går det inte längre, eftersom 2 och 5 är primtal.
189 = 7 * 27 = 7*3*3*3 sedan går det inte längre, eftersom 3 och 7 är primtal.

Eftersom ingen av dessa har några gemensamma faktorer är bråket så förkortat som det kan bli. Två exempel för när metoden funkar:

20/4 = (2*2*5)/(2*2) = 5/1 = 5
20/34 = (2*2*5)/(2*17) = (2*5)/17 = 10/17

Tack, men det jag funderar på är hur man kommer på enklast att 189 går att dela med 27?

Det finns lite sätt som man kan göra kvalificerade gissningar på. Kommer inte på alla knep på rak arm, kanske återkommer när jag hittat var jag skrivit upp dem. Mycket handlar om att du ska kunna multiplikationstabellerna bra. Till exempel om du har ett tal som slutar på 0 eller 5 så kan du med säkerhet säga att det är delbart med 5 (har 5 i sig som faktor). Det mönstret ser du rätt lätt när du kan femmans tabell.
1*5=5
2*5=10
3*5=15
4*5=20
...

I fallet med 189 så tänkte jag snabbt genom vilka primtal mellan 0 och 10 som har någon produkt i multiplikationstabellen som slutar på 9, det var 3 (3*3=9) och 7 (7*7=49). Sedan såg jag väldigt snart att 189 = 140 + 49, det vill säga 189 = 20*7 + 7*7 = 7*(20+7) = 7*27. 27 är inte ett primtal, så det går att dela upp ändå mer. Det visar sig att trean och nians multiplikationstabell ge att 27 = 3*9 = 3*3*3. Detta ger alltså att 189 kan delas upp i 7*3*3*3.

Du skulle även ha kunnat se att 189 = 180 + 9. Men 180 = 9*20 och 9 = 9*1, så 189 = 9*21. Sen vet du att 9 = 3*3 och 21 = 3*7, så 189 = 3*3*3*7.

Om du inte kan se det direkt, börja testa lite och var lite smart i dina val. Till exempel om du har ett ojämnt tal så är det dumt att börja dela med heltalsprodukter av 2, då alla jämna tal kan skrivas som just sådana. Alla jämna tal kan alltså skrivas som 2*n, där n är ett heltal. Omvänt när du har ett jämnt tal från början, då kan du alltid börja med att dela med två.

Edit: Slarvfel, var lite snabb.

Hej, har lite uppgifter där jag skulle beräkna enkla gränsvärden. Men vet inte riktigt om de verkligen menar att man ska "beräkna" dessa eller bara kolla på dom o tänka ut det?

lim, x→∞ för x*sin(x)
lim, x→∞ för cos(x)/ln(x)
lim, x→∞ för ln(x)/arctan(x)

Detta var några av de jag skulle beräkna. När jag själv ser dessa fattar jag inte hur man ska beräkna dom jag menar hur bryter man ut x ur dessa uttryck eller förenklar dom? När jag läser dom tänker jag bara i huvudet om vi tar första ekvationen så kan man resonera såhär:

Eftersom sin(x) kommer pendla mellan värdet 1 och -1 när x går emot oändligheten och när man kommer upp i godtyckligt stora tal är det ganska uppenbart att uttrycket bara göra större och större svängningar ifrån stora positiva värden till stora negativa värden. Därmed finns inget gränsvärde.

Hur löser man dessa algebraiskt dock?

Den första kan man visa med epsilon-delta notation. Men jag tycker att ditt resonomang räcker. För de övriga:

2) cos(x) varierar mellan -1 och 1 medan ln(x) växer till oändligt när x går mot oändligheten alltså får vi något som går mellan +- 1/oo som blir 0.

3) arctan x går mot pi/2 och ln x går mot oändlighet alltså blir det oo/(pi/2) och det är ju "=" oo.