*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

1/(n^2+1) < 1/n^2
=> n^0.5*(1/(n^2+1)) < n^0.5*(1/n^2) = 1/n^1.5

Eftersom ∑ 1/n^1.5 är konvergent så är även ∑ n^0,5/(n^2+1) det.

Detta kallas för direkt jämförelsetest. Om du har att b_n är en absolutkonvergent serie och |a_n | ≤ C*| b_n | för någon konstant C och tillräckligt stort heltal n, så är även a_n en absolutkonvergent serie.

Hur görs denna integration? Vad kommer π från? http://i.imgur.com/a5mkj3G.png

https://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_integral

Det är en variant av integralen [; \int_{-\infty}^{\infty} \exp(-x^2) = \sqrt{\pi};].
Den kallas gauss integral, http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_integral

Jo, om du börjar med att baka in alla dina konstanter i en ny konstant, C.
C = mω/ћ

Så kan du skriva din integral som (skiter i |A|² så länge, och gränserna är underförstått -∞,∞)
I = ∫e^(-Cx²) dx
och
I² = (∫e^(-Cx²) dx)²
= (∫e^(-Cx²) dx)*(∫e^(-Cx²) dx)
= (∫e^(-Cx²) dx)*(∫e^(-Cy²) dy)
= ∫∫e^(-Cx²) * e^(-Cy²) dx dy
= ∫∫e^(-C*[x²+y²]) dx dy

Nu kommer den jobbiga biten som du (kanske) inte kan. Gå över till polära koordinater
x = r*cos(θ),
y = r*sin(θ)
vilket även ger måttet
dx dy = r dr dθ.

r kommer nu vara på intervallet (0,∞) och θ ska gå ett helt varv, så vi väljer (0,2π). (Vi integrerar över hela det 2-dimensionella rummet, fast i polära koordinater.)

Integralen blir således
I² = ∫∫e^(-C*[x²+y²]) dx dy
= ∫∫e^(-C*r²) r dr dθ
{utför θ-integralen}
= 2π∫e^(-C*r²) r dr

Tack vare detta har vi nu en enkel integral att utföra ifrån (0,∞), ty
∫e^(-C*r²) r dr = [(-1/(2C)) * e^(-C*r²)]_0^∞
= 0 - (-1/(2C)) = 1/(2C)

Så vi landar i
I² = 2π/(2C) = π/C = π/(mω/ћ) = πћ/(mω)
eller
I = √πћ/(mω)

Du kan läsa mer på
http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussia...al#Computation



EDIT: Damn it, några hann före

Stort tack till alla!
Du får plus i kanten för härledningen!

Hej! Hur löser och redovisar jag detta? Uppgift nedan, Tänk er bara ett armband, figuren har ingen betydelse.

"Figuren visar ett pärlarmband. Den största pärlan i mitten har diametern 3 cm. På båda sidor om den största pärlan sitter pärlor vars diametrar successivt minskar med 5%. Halsbandet består av 27 pärlor."

a) beräkna diametern för den yttersta pärlan på båda sidor

b) Beräkna halsbandets längd


Evigt tacksam!

a)
Du har en stor pärla. På båda sidor kommer diametern minska med 5%. Detta innebär att om du endast tittar på den ena sidan, så kommer du se en följd på (27-1)/2 = 13 pärlor som minskar i storlek (exklusive den största pärlan). Tittar du på andra sidan kommer du se exakt samma sak.

Om den största pärlans diameter är d. Och storleksförändringen ges av s (= 1 - 0.05 = 0.95) så kommer pärla nummer n ha diametern
d_n = d * s^n
n=0 är för den största pärlan, n=13 för den minsta.

b) För att få längden, L, på halsbandet måste du summera ihop diametrarna på samtliga 27 pärlor. Ta därför
L = d_0 + 2 * ∑ d_n
Där d_0 är diametern på den största pärlan och summan går från n=1 till n=13. Tvåan kommer in för att vi måste ta med båda sidorna om den största pärlan. Detta uttryck kan skrivas om som (via uttrycket vi tog fram i a))
L = d_0 + 2 * ∑ d_n
= d + 2 * ∑ d * s^n
= d + 2d * ∑ s^n
= d * ( 1 + 2 ∑ s^n )

Nu behöver vi bara klura ut vad ∑ s^n är. Men jag överlåter det åt dig. Kom ihåg att gränserna är n=1 till n=13 för summan.


EDIT: Tog bort fula parenteser

"Bestäm Re z , Imz och konjugat z då

z = pi^2 - pi * i / pi "

Mitt svar:

Rez = pi^2

Imz = -pi

konjugat z = pi^2 + pi*i


Har jag tänkt rätt här?

Varför blir ersättningsresistansen mindre i en parallellkoppling ju fler motstånd vi parallellkopplar? (Fick svaret 24 ohm vid två kretsar och svaret 20 ohm vid tre - det stämmer med facit.)

Menar du verkligen att det står
z = π² - π·i/π

Så som du har svarat ser det ut som om du menade
z = π² - π·i
Om detta är vad som menades, så har du tänkt rätt!

Om man tänker på det intuitivt så är det egentligen inte så konstigt. Tänk på elektronerna som vatten som skall rinna genom rör och att resistansen motsvarar en viss tvärsnittsarea på rören (högre resistans motsvarar mindre tvärsnitt, alltså sämre framkomlighet för vattnet). Lägger man flera likadana parallella rör så kan vattnet rinna flera vägar och den totala tvärsnittsarean blir större (motsvarar att resistansen blir mindre).