Citat:
Ursprungligen postat av
SpooN.
Hur många nollställen har funktionen Y = x^3 + 1?
Y =x^2 + 1 förstod jag att man använder sig av konjutgatregeln sen så ser man att funktionen är positiv så den han inga nollställen men fattar inte hur man gör när man har en tredjegradare
Man ser lätt att -1 är en rot till
x^3 + 1=0
Alltså är (x+1) en faktor. Polynomdivision med (x+1) visar att
x^3 + 1=(x+1)(x²-x+1)
x²-x+1=0 har lösningarna x=1/2+-sqrt(1/4-1)
Alltså har y = x^3 + 1 tre komplexa nollställen, där ett av dem är reellt.
Edit: Om det bara är reella nollställen som sökes så kan man förstå det genom att lägga märke till att grafen till y=x³+1 är grafen till y=x³ translaterad ett steg uppåt. Med kännedom av hur dess graf ser ut är det uppenbart att y=x³+1 har ett reellt nollställe. Ett annat lite mer formellt sätt är att använda medelvärdessatsen. Om x
>0 är y=x³+1
>1, så alla nollställen måste vara negativa. Om det fanns två nollställen måste derivatan vara noll någonstans mellan dem. Men y'=3x² är noll om och endast om x=0, så det kan inte finnas två negativa nollställen.