*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Om någon skulle kunna hjälpa mig att lösa dessa uppgifter så skulle jag bli väldigt tacksam.

Förenkla så långt som möjligt:

(x^2-8x+16)/(x^2-6x+8)

och

(x^3-25x)/(x^4-12x^3+45x^2-50x)

Faktorisera på lämpligt sätt täljare och nämnare, t.ex. kvadratkomplettering:


Samma sak på andra. Att x kan förkortas bort ses direkt. Då återstår en tredjegradare i nämnaren. För att gå vidare får man gissa rötter. Eftersom (x-5)(x+5) återstår i täljaren är +/-5 en bra gissning att börja med.

Får jag fråga hur en metrik och dess bundna metrik kan ge upphov till samma topologi på en mängd?
Det kommer ju inte att vara samma öppna mängder, om vi tar öppna bollar med radie a och med radie b så är det samma topologi? men inte samma mängd öppna mängder?

U,V delgrupper till G, G/U = {U,...,g_e U}, V verkar på G/U, U_i = g_i U g_i^{-1}.

Påstående: Antalet V-banor av storlek j är lika med N_j/j, där N_j är antalet i \in [e] sådana att [V : V \cap U_i ] = j.

Bevis: Associera till varje i indexet v(i) := [ V : V \cap U_i ] så att v(i) är storleken på V-banan \omega_i av g_i U. Låt M_j vara preimage av ett givet j \in [e] under v så att mängden { g_i U}_{i \in M_j} är unionen av V-banorna av storlek j i G/U. Sätter vi N_j = |M_j| så följer resultatet.

Jag förstår inte det där med mängden {g_i U}_{i \in M_j}. Varför är dessa g_i U nödvändigtvis av storlek j bara för att v(i)=j? Vidare, vi kan sätta |M_j| = N_j, ja, men då borde väl det önskade resultatet vara N_j istället N_j/j? Varifrån kommer j:et ens, vi måste ju ha N_j = j*nånting?

Plz answer.

I ett metriskt rum tar man ju alla öppna bollar med radie r > 0. Bollen med radie r i den ordinarie metriken och bollen med radie r i den bundna metriken kanske inte är lika, men det finns något r' så att bollen med radie r' i den bundna metriken är samma som bollen med radie r i den ordinarie metriken.

Ok! Så om jag har en mängd X som kan utrustas med ordinarie metriken d(x,y) eller bundna metriken d*(x,y) och tar bollen i (X,d*); B*(r',x) = {y \in X s.a d*(x,y)<r'} får man att d(x,y)/(1+d(x,y))<r' eller att
d(x,y)<r'/(1-r') och r' måste vara mindre än 1 så att olikheten aldrig vänds. Alltså är sambandet mellan ordinarie metriken och bundna metriken: r = r'/(1-r').

Och B*(r',x) = {y \in X s.a d*(x,y)<r'} är samma sak som B(r'/(1-r'),x) = {y \in X s.a d(x,y)<r'/(1-r')}
och detta fungerar för alla r. Jag fastnade nog lite på ordet bunden och att r' < 1 men r kan man välja hur stort man vill, verkade inte intuitivt.

Eller tänker jag helt fel?

visa att tan2x = (2tanx)/ (1 - tan^2x)

Såg en lösning från 2005 där man utvecklade VL men tyvärr förstår jag inte alla stegen i den uträkningen. Tacksam för ytterligare ett lösningsförslag som förhoppningsvis ger mig en annan infallsvinkel.

När jag själv försökte valde jag spontant HL men utan att lyckas.

Kör på VL. Använd att tan = sin/cos, använd formlerna för sin och cos av dubbla vinkeln, förläng täljare och nämnare med 1/cos²(x) och använd än en gång att sin/cos = tan så ska du få fram HL.

tan(2x) = sin(2x)/cos(2x)

sin(2x) = 2 sin x cos x
cos(2x) = cos(x)^2 - sin(x)^2

=> tan(2x) = (2 sin x cos x)/(cos(x)^2 - sin(x)^2)

Dela med cos(x)^2 ger

tan(2x) = (2 sin(x)cos(x)/cos(x)^2)/(cos(x)^2/cos(x)^2-sin(x)^2/cos(x)^2)

Förenkla:

tan(2x) = 2tan(x)/(1-tan(x)^2).

Alternativt:

(1) 2tan(x)/(1-tan(x)^2)

(2sin(x)/cos(x))/(1-sin(x)^2/cos(x)^2)

Skriv 1-sin(x)^2/cos(x)^2 som cos(x)^2/cos(x)^2-sin(x)^2/cos(x)^2 = (cos(x)^2-sin(x)^2)/cos(x)^2 så:

(2sin(x)/cos(x))/((cos(x)^2-sin(x)^2)/cos(x)^2)
= (2sin(x)/cos(x)*cos(x)^2)/(cos(x)^2-sin(x)^2)

Förenkla ger:

= (2sin x cos x)/(cos(x)^2-sin(x)^2)

2 sin x cos x = sin(2x)
cos(x)^2-sin(x)^2 = cos(2x)

=>

(1) = sin(2x)/cos(2x) = tan(2x).

tan2x = (2tanx)/ (1 - tan^2x)

sin²(X)/cos²(x) =
(2sin(x)cos(x)) / (cos²(x)-sin²(x)) =
((2sin(x)cos(x))/cos²(x)) / ((cos²(x)-sin²(x))/cos²(x))
2sin(x)/cos(x) / (1-((sin²(X)/cos²(x)) =
2tan(x) / 1-tan²(x)

Ok kan se logiken men finns det något tips hur man kan se vad man ska göra, som i detta fall att förlänga med 1/cos²(x), eller är det bara att känna formlerna så pass väl att man kan vrida och vända efter "behov"?

Jag antar att du menade sin(2x)/cos(2x) i första raden och 2tan(x)/(1-tan²(x)) i sista (parenteser!!!).

Ja, när tan dyker upp så brukar första steget oftast vara att skriva om det till sin/cos. Och när du vill tillbaka till tan så leta efter sätt att få fram sin/cos. Utöver det är det lite som du säger, det gäller mest att vänja sig vid de formler man har. För övrigt är X och x inte samma symbol; håll dig till en av dem, förslagsvis x.

Super tack för nu kan jag följa både VL och HL!