*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Hm okej.
För f(x) fås: lim x->4 (x^2-4x)/(2x-8) => lim x->4 x(x-4)/(2(x-4)) => lim x->4 x/2 = 2
För g(x) fås: lim x->4 (x^2+4x)/(x-4)
existerar inget gränsvärde (Wolfamalphade när jag inte lyckades fortsätta). Men hur visar jag att det inte existerar något gränsvärde när x går mot 4?
Hehe jag är lite ny på området, men se gärna min fråga ovan.

Bump

För funktionen g(x) = (x² + 4x)/(x - 4) gäller att x² + 4x → 32 då x → 4 och x - 4 → 0 då x → 4. När nämnaren blir mindre och mindre när x → 4 och täljaren → 32 kommer kvoten att växa sig större och större, och vi inser att kvoten kommer att växa sig oändligt stor när vi närmar oss punkten. Man kan då tänka sig att g(x) → ∞ då x → 4, men det stämmer inte. Vad händer när x → +4 och x → -4, respektive (när man närmar sig från höger respektive vänster).

Om Tr(A) = 0 och Tr(B) = 0, gäller att Tr(A+B) = 0? (Tips: definitionen av Tr)
Om det(A) = 0 och det(B) = 0, gäller att det(A+B) = 0? (Tips: vilken sorts matriser är det lättast att ta fram det för? När har en sådan determinant 0?)

7. Använd definitionen helt enkelt. Det är ju klart att de är delmängder av rummet av alla n × n - matriser. Du ska nu visa att addition och multiplikation med en skalär är sluten i mängden.

Exempelvis, låt A och B ligga i V, samt att λ är en komplex skalär. Det gäller att Tr(A) = 0 och Tr(B) = 0. Försök nu att visa eller motbevisa att tr(A + B) = 0 och tr(λA) = 0. Om du visar detta är det alltså ett underrum, och samma idé för W.

9. Det första påståendet bör du leta efter ett motbevis. För den andra, dela upp i fallen att F är nollavbildningen och F är inte nollavbildningen (då vet du att dimV(F) > 0). Säg till om du behöver mer tips.

Hej! Har börjat läsa om lite matte och fular lite med ekvationer. Här har jag stött på ett exempel som jag inte förstår ett steg i:


1. Skriv av ekvationen. 3x + 16 + x = 45 + 2x – 17
2. Förenkla i både VL och HL 4x + 16 = 2x + 28

Hur kommer 4:an till? Kan nån förklara just det här steget? Det känns som om något fattas på vägen. Att man räknar bort 17 från 45 och får 28 i HL är ju naturligt, men varför blir 3x + x = 4x?

När x→+4 minskar täljaren och nämnaren ökar, dvs kvoten minskar. När x→-4 ökar täljaren och nämnaren minskar, dvs kvoten ökar. Eller hur menar du?

Nej, då x → +4 kommer g(x) = (x² + 4x)/(x - 4) → +∞ (då x - 4 är väldigt litet positivt då x → +4) och g(x) = (x² + 4x)/(x - 4) → -∞ då x → -4 (då x - 4 är väldigt litet negativt då x → -4 jämfört med det andra fallet).

Aha okej, kan man säga att man studerar gränsvärdena oändligt nära x=4 från vänster och höger, eller är det helt fel? Och vad säger det oss att gränsvärdena är +inf resp. -inf?
Ytterliggare en fråga: Är funktionen f(x) = 1/x kontinuerlig? Det är "givet" att 0 inte tillhör definitionsmängden.

För att ett gränsvärde ska existera måste både höger- och vänstergränsvärdet existera och vara likadant. Gränsvärden innebär att man studerar hur en funktion beter sig godtyckligt nära en punkt (vad som händer i punkten är irrelevant enligt gränsvärdesdefinitionen, det är omgivningen som är det viktiga). Att höger- och vänstergränsvärdena är olika innebär att inget gränsvärde existerar. Nej, den är inte kontinuerlig och kan inte heller göras kontinuerlig då funktionen saknar gränsvärde (titta återigen på höger- och vänstergränsvärdet) i just den punkten (för övrigt är den kontinuerlig, i alla andra punkter).

3x + 1x = 4x

Hmm okej, det låter rimligt. Finns det något snyggt bevis för det fetstilta?
Aha, för jag har fått lära mig att definitionen av att en funktion är kontinuerlig i punkten x är om följande gäller:

• x∈Df (x tillhör def. mängden)

• lim h->0 f(x-h) = f(x) dvs vänstergränsvärdet är lika med f(x).
  

• lim h->0 f(x+h) = f(x) dvs högergränsvärdet är lika med f(x).

Och av denna definition ska då, enligt min lärare, det följa att funktionen f(x) = 1/x är kontinuerlig eftersom 0 inte tillhör def. mängden. Har jag tolkat det han skrivit fel eller hur ligger det till?