*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Hur löser man enklast dessa två?

Linjen L1 går genom punkterna (1;1) och (4;0) och linjen L2 går genom punkten (-3;-2). Bestäm ekvationen för L2 om

a) L2 är parallell med L1, b) L2 är vinkelrät mot L1.

Har fått en konstig uppgfit och hoppas att ni kan hjälpa mig!

För följande ekvation:
-A*(u(x)'') + V(x)u(x) = Eu(x)

Visa att, om potentialen V(x) är en jämn funktion, samt att det inte finns någon degenerering för väntevärdet hos energin (E), så måste egenfunktionen u(x) vara antingen jämn eller udda. Använd sida blabla i texten som hjälp.

Problemet här är att i hänvisningen till texten finns det redan en vad jag ytcker är fullständig lösning till problemet och därmed har jag ingen aning om vad det är meningen att jag skall göra. Jag skriver upp bokens lösning, så kanske ni kan komma med förslag!

Sätt två lösningar till ekvationen, u(x) och v(x) och skriv om:
u(x)'' + A(E-V(x))u(x) = 0
v(x)'' + A(E-V(x))v(x) = 0

Multiplicerar man in v(x) respektive u(x) och subtraherar får man:
v(x)u(x)'' - u(x)v(x)'' = 0 <=> d/dx (v(x)u(x)' - u(x)v(x)') = 0
=> v*u' - u*v' = C (konstant)

Likheten håller för godtyckligt x och, speciellt, om man låter x gå mot inf, så får man ur det bundna tillståndet att u,v(x) går mot noll. Således måste konstanten vara lika med noll.

=> v*u' = u*v' => u' / u = v'/v
=> ln(u) = ln(v)+D (konstant)
=> u = v*B (konstant)

Sedan om vi byter ut x mot -x i grundekvationen, får vi, med att V(x) är en jämn funktion:
u''(-x) + A(E-V(x))*u(-x) = 0

Således hör både u(x) och u(-x) till samma energi-egenvärde E och är därmed egenfunktioner.
Men enligt ovan:
u(x) = u(-x)*B = (u(x)*B)*B = u(x)*B^2
=> B^2 = 1 <=> B = +-1

u(x) = +-u(-x) och måste därmed vara antingen udda eller jämn.

Tack för hjälp!!

Gammal tentauppgift, som jag inte kommer någonvart med:

Låt p(x) vara ett polynom med skilda nollställen a_1,...,a_n. Bevisa att 1/p(x) = sum_(k=1)^n (1/p'(a_i))/(x-a_i)

När rötterna är givna kan polynomet skrivas

p(x) = k(x-a_1)(x-a_2) ... (x-a_n)

Logritmera detta och derivera sedan!

PS. HL skriv som en summa efter logaritmeringen.

Kommer fram till log(p'(x)) = 1/(x-a_1) + 1/(x-a_2) + ... + 1/(x-a_n)

Förstår dock inte vad du menar att jag ska göra med log(p'(x)).

Inte helt med på hur du räknar, men knuff på traven här. Antag att p(x) = k*prod (x - a_i) då är log(p) = log(k) + log(prod (x-a_i)) = log(k) + sum log(x-a_i) så derivering ger

p'/p = sum 1/(x-a_i).

Hjälper det dig?

Jag hänger inte med på hur derivatan av log(p(x)) blir p'/p?

log(x) = 1/x
multiplicerat med inre derivata som i ovanstående är 1.
så
log(p) = 1/p * p'

Så hur skriver jag att dx/x log(p(x)) = p'(x)/p(x) med "prim-notation"?