*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

p'(x)/p(x) = 1/(x-a_1) + 1/(x-a_2) + ...

Enkelt, dividera båda led med p'(x)

1/p(x) = 1/(p'(x)(x-a_1)) + 1/(p'(x)(x-a_2)) + ...

Jag menar, tar jag derivatan av hela log(p(x)) eller logaritmen av derivatan av p(x)? Hur skriver jag om det är det förstnämnda? 'log(p(x))?

Åh, men i uppgiften är det 1/(p'(a_i)(x-a_i)), inte 1/(p'(x)(x-a_i)).

(log(p(x)))' kanske. Men vad är det för fel på d/dx log(p(x))?

Känner mig mer bekväm med Lagranges notationer och det känns aningen inkonsekvent att slänga in ett d/dx mitt bland alla primtecken.

Någon som vet hur man hittar närmevärde för t.ex cos(0.4) med högst 0.0001 avikelse?

Rimligen bör det vara ett tryckfel dock. För om vi antar att den gäller så säger den att:

p = (x-1)(x-2)(x-3) (a_1 = 1, a_2 = 2 och a_3 = 3)
1/((x-1)(x-2)(x-3))

p' = (x-2)(x-3) + (x-1)(x-2) + (x-1)(x-3)

Så:

p'(a_1) = p'(1) = 2
p'(a_2) = p'(2) = -2
p'(a_3) = p'(3) = 2

Så:

1/((x-1)(x-2)(x-3)) = 1/(2(x-1) - 1/(2(x-2)) + 1/(2(x-3))

Men det stämmer inte. Tag till exempel x=4 då ska:

VL = 1/(3*2*1) = 1/6
HL = 1/(2*3) - 1/(2*2) + 1/(2*1)

Men VL != HL för i så fall skulle -1/4 + 1/2 = 0 och det stämmer inte.

Alltså kan inte formeln stämma. Det är rimligare att anta att det ska vara med 1/p'(x) och att det är tryckfel.

Utveckla ett taylorpolynom kring 0 och utnyttja Lagranges restterm för att hitta en så låg grad som möjligt som ändå uppfyller villkoret.

Lagranges restterm kan beskrivas

|E| = f^n(s)*x^n/n! , där s ligger mellan 0.4 och 0.

f^n(s) kan högst anta värdet 1 vilket även skulle maximera felet och vi kan då ställa upp olikheten

1*0.4^n/n! = 0.4^n/n! <= 0.0001

Vi vill nu hitta ett n som är så lågt som möjligt, men som ändå uppfyller olikheten ovan.
Sätter vi n = 4 får vi ≈ 0.001 vilket är för stort fel. n = 5 ger oss ≈ 0.00009. Alltså ger n = 5 oss på Lagranges restterm ett fel som är inom vårat villkor.

Vi kan då utveckla ett Maclaurinpolynom av fjärde ordningen:

f(x) = cos(x) , f(0) = 1
f'(x) = -sin(x) , f'(0) = 0
f''(x) = -cos(x) , f''(0) = -1
f'''(x) = sin(x) , f'''(0) = 0
f^(4)(x) = cos(x) , f^(4)(0) = 1

Polynomet blir då:
P_4(x) = f(0)+f'(0)*x+f''(0)*x^2/2!+f'''(0)*x^3/3!+f^(4)x^4/4!
P_4(x) = 1+0-x^2/2+0+x^4/24 = 1-x^2/2+x^4/24

P_4(0.4) = 1-(0.4)^2+(0.4)^4/24 ≈ 0.92106667

Och eftersom cos(0.4) ≈ P_4(0.4) har vi då att cos(0.4) ≈ 0.92106667 där felet är mindre än 0.0001.

Jag håller på med en matlab inlämning. Jag ska skriva en kod där jag använder newton-raphson för att beräkna ut nollställe. Saken är den att jag ska beräkna vart derivatan är noll, men jag får inte till koden.

newton-raphson ser ju ut såhär: x=x-f(x)/f'(x)

Om jag då ska hitta extremvärden till funktionen f, ska jag då skriva typ: x=x-f'(x)/f''(x)?

Newton-Raphsons metod är x_(n+1) = x_n-f(x_n)/f'(x_n) där man sen använder x_(n+1) igen för att få fram x_(n+2) och kan sen iterera till man når en rot med önskad noggrannhet.

Du kan studera den lite mer här:
http://sv.wikipedia.org/wiki/Newtons_metod

Själva grundtanken blir då att skapa en loop i Matlab, nu vet jag inte vad som sätter villkoret för noggrannheten i din uppgift.

Jag är medveten om hur newtonmetoden fungerar. Det jag undrar över är om det går att göra newtonmetoden för att få ut extrempunkter? Dvs utan att derivera min funktion manuellt.

Ja det går, men med tanke på frågeställningen så får jag för mig att det är meningen att du ska derivera funktionen manuellt.

Låt säga att du har funktionen f(x) = x^2-1 och ska ta reda på nollställena där, då har jag skrivit några rader nu bara där vi gissar att ena roten är då x = 2, och där man sedan itererar 10 ggr för att komma fram till ett mer exakt värde för nollstället. Du kan även använda en whileloop som kör så länge felet är större än ett visst värde.

Tack!! Riktigt bra!