Är jag på rätt väg om jag tror att man ska Bryta ut 6x^2y där uppe för att kunna förkorta med xy^3 både uppe och nere? Isf är det som är kvar 6x^2y / 18. Går det att förkorta ännu mera?
Det är rätt så långt. Men 6/18 går att förkorta.
Du kan bryta ut så som du gjort, men snabbare att inse att man kan och sedan bara kan dra ifrån exponenterna som står i nämnaren från de i täljaren.
6x^3y^4 / 18xy^3
dra bort 1 från x-exponenten, och 3 från y-ditot. 6x²y/18 = x²y/3
I vilka punkter har grafen till funktionen f(x)= 2x^3-9x^2+5 tangenter som är parallella med x-axeln?
Hade behövt få hjälp med att lösa den här...
Att tangenten i en punkt är parallell med x-axeln innebär att lutningen i den punkten är lika med noll, vilket är detsamma som att derivatan i punkten är lika med noll. Så derivera och lös ekvationen f'(x) = 0.
Jag ska bestämma ekvationen för ett plan som är parallellt med planet 2x-y+z+4=0.
Planet jag ska bestämma går igenom punkten (1,1,1).
som jag förstått det är 2x-y+z+4=0 på affin form=
x=t
y=-1+2t+s+4
z=s
och därmed har jag vektorriktningen till det andra planet, men vet inte hur jag ska göra detta. Är ut på hal is
Tack på förhand
Enklare är väl att notera att om de är parallella så har de samma normalvektor, vilken är (2, 1, 1). Alltså är ekvationen för ditt sökta plan 2x + y + z = k, där k bestäms av att sätta in punkten (1, 1, 1) i VL.
Du har en följd av tal a_1, a_2, a_3, ..., där a_n = 1/n², för det n:te talet i följden. Följden börjar alltså så här:
1/1² = 1,
1/2² = 1/4,
1/3² = 1/9,
1/4² = 1/16,
1/5² = 1/25,
1/6² = 1/36,
1/7² = 1/49,
o.s.v.
Du ser att varje ny term är mindre än de föregående (följden är strängt avtagande) samt att alla termer är större än noll.
Vi ska nu studera |a_n - a_m|.
För t.ex. n = 3 och m = 6 får vi
Förstår du varför dessa olikheter gäller och ser du mönstret?
Nu tittar vi på hur detta generaliseras till godtyckliga positiva heltal (d.v.s. vi sätter inte in några specifika tal för n och m).
Studera |a_n - a_m|. Kan du göra en olikhet motsvarande de ovan?
|a_n - a_m| < max(a_n, a_m) = 1/min(n, m)².
max(a_n, a_m) betyder det största talet av a_n och a_m, vilket är samma sak som 1/min(n, m)² som betyder att vi tar det minsta talet av n och m och sedan tar t.ex. 1/n² (om n är mindre än m).
Titta på olikheterna ovan, i den första var 3 mindre än 6 och vi fick
|a_3 - a_6| < 1/3²,
och i det andra fallet var 5 mindre än 7 och vi fick
|a_7 - a_5| < 1/5².
Om vi får ett tal ε > 0, t.ex. ε = 1/100, kan vi då hitta ett positivt heltal, som vi kan kalla N, så att
|a_n - a_m| är mindre än 1/100 för alla tal n och m som är större än eller lika med N?
Ja, eftersom 100 = 10² så kan vi välja N = 10.
Om både n och m är större än eller lika med 10 så gäller det att
|a_n - a_m| < 1/min(n, m)² ≤ 1/10² = 1/100 = ε.
Om vi får ett ännu mindre tal, t.ex. ε = 1/2000000, kan vi då hitta ett sådant N?
Ja, eftersom 2000000 < 4000000 = 2000² kan vi välja N = 2000.
Om både n och m är större än eller lika med 2000 så gäller det att
Ser du mönstret? Kan du komma upp med en regel som för ett givet ε > 0 ger ett tillräckligt bra N?
Vi får vår regel genom att inse att
1/N² ≤ ε ⇔1/ε ≤ N² ⇔1/√ε ≤ N.
Givet ε > 0. Välj N sådant att N ≥ 1/√ε. För alla n och m som är större än eller lika med N följer då att
|a_n - a_m| < 1/min(n, m)² ≤ 1/N² ≤ ε.
Alltså är följden en Cauchyföljd.
Jag tror jag fattade. Och om jag inte gjorde det så kommer jag definitvt göra det ikväll. Skrivit ut pappret och ska bara nöta. DU är grym! Jag uppskattar verkligen hjälpen!
