*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Det är ju uppenbart att det är rationellt då √4 = √2² = 2 och 2 är ett rationellt tal, det tycker jag är bevis nog. Finns ingen anledning att göra det krångligare än så tycker jag i alla fall.

Det finns ingen sådan rät linje som kan uttryckas på formen y = kx + m, utan man brukar isåfall tala om linjen x = a, och om den aldrig ska skära y-axeln så gäller att a ≠ 0 och om den ska skära den negativa x-axeln gäller a < 0.

Metoden ter sig tyvärr fruktlöslig för 4, ty antag att a/b = sqrt(4), (a,b)=1 => a²/b²=4 => a² = 4b².
Fortsätter vi på samma sätt som för sqrt(2), följer alltså a=2k => a²=4k²=4b² => k²=b². b behöver alltså inte bara jämnt, och vi får ingen motsägelse.

För oss som inte är simpla tillämpare är det dock instruktivt att förstå varför ett bevis fallerar!

Ja visst, jag svarade dock på hans fråga om ett sådant bevis räcker, vilket jag tycker det gör.

Hej jag har två korta frågor:

fråga 1:
Hur skulle Du beskriva/förklara vad en egenvektor är för något? Vi antar att personen i fråga precis läst linjär algebra.

fråga 2:
Hur skulle Du beskriva/förklara vad determinant är för något?
Min lärare svarade: Tjaa, den har vissa egenskaper för vektorer. Jaha? Sen då?

Jag vill gärna ha personligt svar, så länka helst inte till någon sida.

Tacksam för svar!

1. En egenvektor är en vektor som efter en en linjär avbildning behåller samma riktning (är alltså parallell).

2. Determinanten av en n × n - matris kan tolkas som den n-dimensionella volym (eller area om det handlar om en 2 × 2 - matris) med tecken som dess ingående vektorer spänner upp. Om en eller flera vektorer är linjärt beroende spänner de ej upp en n-dimensionell volym, varvid determinanten är noll, och tvärtom då om alla vektorer är linjärt oberoende, då är determinanten nollskild ty då spänns en n-dimensionell volym upp.

fråga 1: Om T: V -> V är en linjär avbildning från ett vektorrum V till V, och V är ett vektorrum över kroppen F, så är v en egenvektor till T om det finns ett k i F så att Tv = kv. k är ett egenvärde
fråga 2: Ett trevligt sätt att definera determinanten på är genom: Det T = k_1k_2*...*k_n, där k_i, i=1,...,n är egenvärdena till T med multiplicitet.
Lästips: Linear Algebra Done Right av Sheldon Axler

MVH

Greger (matematikprofessor)

Så om jag förstått fråga 1 rätt så är egenvektor en vektor som är parallell även efter "transformation"? (med transformation menar jag något som "verkat" på vektorn, kan vara t.ex. funktion, avbildning o.s.v.)

Men desto mer intressant är fråga 2. Har man bara hittat något sätt att kolla om vektorerna är linjärt beroende eller ej? "Om du ej har nollskillt så är vektorerna linjärt beroende".

Jag förstår determinantens syfte geometrisk men inte den teoretiska innebörden.

Ska tänka över Greger010101s förklaring. Ska också kolla hur linjärt beroende, egenvektorer, egenvärden och determinanten håller ihop. För allting hänger ihop, eller hur?

Edit: Får man fråga var du har din tjänst Greger?

Det är lite svårt att veta exakt vad du är ute efter, eftersom man inte vet vilken nivå du är på och mer exakt vad du vill veta mer om? Om du vill veta varför determinanten är konstruerad som den är kan jag rekommendera att läsa Linear algebra done wrong, specifikt i det här fallet det tredje kapitlet. Här, förutom att ge den formella definitionen, förklarar och motiverar författaren determinantens egenskaper och varför definitionen ser ut som den gör när man ställt krav på dessa egenskaper.

Ok tack!
I ärlighetens namn har jag inte heller koll på vad för svar jag är ute efter. Därav mitt problem att formulera en vettig fråga (lite som att fråga: hur fungerar universum?).

Bonusfrågan då: I envariabel-analys så kan ett gränsvärde undersökasfrån två håll (säg från negativa X-axeln och positiva X-axeln) för att veta om en kurva är kontinuerlig i en viss punkt. Men i flervariabel så kan ett gränsvärde komma från oändligt många håll (rätt?). Om jag vill ha information om en punkt i ett rum, R3, varför räcker det inte till att kolla gränsvärdet? (om jag förstått rätt så är det inte tillräckligt med att bara kolla gränsvärdet). Borde inte antalet "håll" som ett gränsvärde kan komma från motsvara rummets dimensioner? T.ex. I R3 så kan man undersöka gränsvärde från 3 olika håll för att få information om en punkt i rummet.

Ber om ursäkt för extremt luddig formulering av frågon. Hoppas ni kan (med logiskt tänk) gissa er till vad jag frågar efter!
Tacksam för svar

Det stämmer att i endimensionell analys kan du närma dig en punkt från två olika håll, men detta fungerar inte riktigt för flerdimensionell analys. Här kan du nämligen närma dig en punkt från oändligt många håll och kanter. Betrakta exempelvis f(x, y) = x⁴y²/(x⁴ + y²)² vilken jag hämtar från Analys i flera variabler. Vi vill undersöka gränsvärdet då (x, y) → (0, 0) Om vi närmar oss via y-axeln kan vi skriva f(0, y) = 0 → 0 då y → 0. Låt oss nu närma oss punkten via en godtycklig rät linje via origo, så låt y = kx vilket ger f(x, kx) = ... = k²x²/(x² + k²)² → 0 då x → 0. Vi kan här förledas att tro att gränsvärdet existerar, men närma dig nu origo via kurvan y = x². Detta ger f(x, x²) = x⁸/(x⁴ + x⁴)² = 1/4 → 1/4 då x → 0. Alltså existerar inte gränsvärdet, detta uppfyller nämligen inte gränsvärdesdefinitionen.

För att undersöka precis alla möjliga riktningar man närmar sig ett gränsvärde kan man byta till polära koordinater och låta vinkeln variera fritt medan man låter r → 0. Säg till om du vill ha något exempel på detta.

En fråga kring ekvationssystem som jag inte lyckas klura ut på egen hand:

http://i.imgur.com/xp5Wn.png

Cramer's kan jag, men fram till det är det knepigt... Jag försökte lösa ut Y i övre för att sätta in i undre, och därigenom får fram vad K inte får vara, men jag lyckas inte hamna i ett läge som löser det...